Nutation (Astronomie)

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Unter Nutation (zu lateinisch nutare „nicken“) versteht die Astronomie eine kleine periodische Schwankung der Richtung der Erdachse, die sich dem gleichmäßigen Kegelumlauf der Erdachse, der Präzession, überlagert. Ihre Periodendauer beträgt 18,6 Jahre, und ihre Amplitude ist 9,2" rechtwinklig zur Ekliptik und 6,8" parallel zur Ekliptik. Daneben gibt es weitere Nutationsanteile mit Amplituden unter 1" und kürzeren Perioden.

Dieser in der Astronomie gebräuchliche Begriff der Nutation ist nicht identisch mit dem in der Mechanik gebräuchlichen Begriff der Nutation in der Kreiseltheorie, der die Bewegung der Figurenachse eines rotierenden Körpers um die Achse des Drehimpulses bezeichnet, die auch bei einem Körper, auf den kein Drehmoment wirkt, auftritt.

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen [Bearbeiten]

Rotation (grün), Präzession (blau) und Nutation (rot) der Erdachse (schematisch)

Die Richtung der Rotationsachse der Erde im Raum ist nicht konstant. Ihre Änderung ist im Wesentlichen die Präzession, ein kegelförmiger Umlauf um den Normalenvektor der Ekliptik mit einem Öffnungswinkel von etwa 23,5° (der Schiefe der Ekliptik) und einer Umlaufdauer von 25.780 Jahren. Dieser gleichmäßigen Präzessionsbewegung überlagern sich kleinere periodische Abweichungen: die Nutation. Hervorgerufen werden die Präzession und die Nutation durch Drehmomente, die die Gravitationskräfte des Mondes und der Sonne auf die nicht streng kugelförmige, sondern etwas abgeplattete Erde ausüben. Die Nutation entsteht dadurch, dass diese Drehmomente nicht konstant sind, sondern, entsprechend den Bahnbewegungen des Mondes und der Sonne relativ zur Erde, periodische Änderungen aufweisen.

Der Hauptanteil der Nutation ändert die Richtung der Erdachse mit einer Amplitude von 9,2" rechtwinklig zur Ekliptik und 6,8" parallel zur Ekliptik und mit einer Periode von 18,6 Jahren. Er wird verursacht durch eine langsame Verlagerung der Ebene der Mondbahn, die gegenüber der Ekliptik um etwa 5,1° geneigt ist und deren Schnittgerade mit der Ekliptik sich in 18,6 Jahren um 360° dreht.

Die Dauer der Nutationsperiode beträgt genauer:

18,61296 julianische Jahre oder 6798,3835 Tage (gültig für die Epoche J2000.0).[1]

Es gibt außer diesem knapp 19-jährigen Hauptanteil der Nutation noch weitere Anteile mit kürzeren Perioden (unter anderem von einem halben Monat), die jeweils weniger als 1" betragen.

Nutation in Länge und Schiefe [Bearbeiten]

Man zerlegt den Einfluss aus rechentechnischen Gründen in zwei Komponenten:

  • Nutation in Länge zwischen −17,24" und +17,24"

(gibt die durch die Nutation verursachte Abweichung des wahren Frühlingspunktes von seiner mittleren – gleichmäßig durch die Präzession veränderlichen – Lage auf der Ekliptik an)
  • Nutation in Schiefe zwischen −9,21" und +9,21"

(gibt die Änderung der Schiefe der Ekliptik an, also des Winkels zwischen dem Normalenvektor der Ekliptik und der Erdachse)

Einfluss auf die Sternkoordinaten [Bearbeiten]

Da Erdachse und Ekliptik das astronomische Koordinatensystem definieren, verändert jede Verlagerung der Erdachse die Koordinaten (Sternörter) aller Himmelskörper. Für die etwa 2000 Fundamentalsterne – die den meisten Messungen am Himmel zugrunde liegen – werden die Sternörter unter Berücksichtigung der Präzession und der Nutation in 10-Tages-Abständen vorausberechnet und in astronomischen Jahrbüchern bzw. im Internet publiziert. Das wichtigste dieser Jahrbücher heißt Apparent Places of Fundamental Stars und wird vom astronomischen Recheninstitut (ARI) in Heidelberg jeweils jährlich im Voraus herausgegeben.

Der Einfluss der „kurzperiodischen“ Nutationsanteile mit Perioden unter 35 Tagen ist jedoch bei Sternen, deren Örter in Zeitabständen von zehn Tagen tabelliert sind, nicht berücksichtigt; sie müssen mit Hilfstabellen oder kleinen Zusatzprogrammen berechnet und zu den publizierten Sternörtern addiert werden. Der Einfluss der Polbewegung wird hingegen an den Messungen selbst angebracht, ebenso wie die Zeitkorrektur dUT1 der Erdrotation.

Berechnungsmodell für die Nutation [Bearbeiten]

Die verschiedenen Perioden der Nutation

Um die Nutation der Erde zu berechnen, wurden von der IAU Modelle veröffentlicht. Dabei werden die Lage von Mond und Sonne berücksichtigt (IAU 1980 Theory of Nutation[2] ), beim neuesten Modell auch die Planetenpositionen (IAU2000A Theory of Nutation). Mit der Theorie von 1980 kann eine Genauigkeit von 0,0001" erzielt werden, die für die meisten amateurastronomischen Anwendungen ausreicht.

Die Grundlage bilden die periodischen Elemente der Nutation mit ihrer unterschiedlichen Periodendauer (siehe Grafik). Für eine näherungsweise Berechnung kann daher die nachstehende Tabelle insofern abgekürzt werden, dass nur die Elemente mit den höchsten Koeffizienten der Sinus bzw. Cosinus Funktion berücksichtigt werden.

Sei T die Anzahl der Julianischen Jahrhunderte mit T = \frac{{JDE - 2451545}}{{36525}}, \Delta \psi die Nutation der Länge und \Delta \epsilon die Nutation der Schiefe. JDE bedeutet dass der Datums- und Zeitwert in TDB übergeben wird. Für eine Umrechnung ist der Wert von deltaT erforderlich, der im Jahr 2010 etwa 61 Sekunden beträgt.

Für die weitere Berechnung werden noch 5 Einflussgrößen[3] benötigt:

  • Mittlere Elongation des Mondes
    D = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {1072260,703692 + 1602961601,2090T - 6,3706{T^2} + 0,006593{T^3} - 0,00003169{T^4}} \right)
  • Mittlere Anomalie der Sonne
    M = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {1287104,793048 + 129596581,0481T - 0,5532{T^2} + 0,000136{T^3} - 0,00001149{T^4}} \right)
  • Mittlere Anomalie des Mondes
    M' = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {485868,249036 + 1717915923,2178T + 31,8792{T^2} + 0,051635{T^3} - 0,00024470{T^4}} \right)
  • Mittleres Argument des Perigäums
    F = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {335779,526232 + 1739527262,8478T - 12,7512{T^2} - 0,001037{T^3} + 0,00000417{T^4}} \right)
  • Mittlere Länge des aufsteigenden Knotens der Mondbahn:
    \Omega = \frac{{1^\circ }}{{3600}}\left( {450160,398036 - 6962890,5431T + 7,4722{T^2} + 0,007702{T^3} - 0,00005939{T^4}} \right)

Zum Weiterrechnen empfiehlt es sich, den Winkel auf den Wertebereich 0°...360° zu reduzieren.

Mit nachfolgender Tabelle werden nun die einzelnen Ausdrücke nach folgender Vorschrift aufsummiert:

\Delta \psi = {10^{ - 4}} \cdot \sum\limits_i {\left( {S_i^' + S_i^{''} \cdot T} \right)\sin \left( {{D_i} \cdot D + {M_i} \cdot M + M_i^' \cdot {M^'} + {F_i} \cdot F + {\Omega _i} \cdot \Omega } \right)}
\Delta \varepsilon = {10^{ - 4}} \cdot \sum\limits_i {\left( {C_i^' + C_i^{''} \cdot T} \right)\cos \left( {{D_i} \cdot D + {M_i} \cdot M + M_i^' \cdot {M^'} + {F_i} \cdot F + {\Omega _i} \cdot \Omega } \right)}

Falls Sinus und Cosinus Argumente in Bogenmaß verlangen, sind die Werte der vorigen Berechnungen in rad umzurechnen. Das Ergebnis liegt in Bogensekunden vor.

Tabelle der IAU1980 Theory of Nutation [Bearbeiten]

i Periodische Argumente Nichtperiodische Argumente
M' M F D \Omega Longitude (10^{-4}arcsec) Latitude (10^{-4}arcsec)
S' S'' C' C''
1 0 0 0 0 1 −171996 −174,2 92025 8,9
2 0 0 2 −2 2 −13187 −1,6 5736 −3,1
3 0 0 2 0 2 −2274 −0,2 977 −0,5
4 0 0 0 0 2 2062 0,2 −895 0,5
5 0 1 0 0 0 1426 −3,4 54 −0,1
6 1 0 0 0 0 712 0,1 −7 0,0
7 0 1 2 −2 2 −517 1,2 224 −0,6
8 0 0 2 0 1 −386 −0,4 200 0,0
9 1 0 2 0 2 −301 0,0 129 −0,1
10 0 −1 2 −2 2 217 −0,5 −95 0,3
11 1 0 0 −2 0 −158 0,0 −1 0,0
12 0 0 2 −2 1 129 0,1 −70 0,0
13 −1 0 2 0 2 123 0,0 −53 0,0
14 0 0 0 2 0 63 0,0 −2 0,0
15 1 0 0 0 1 63 0,1 −33 0,0
16 −1 0 2 2 2 −59 0,0 26 0,0
17 −1 0 0 0 1 −58 −0,1 32 0,0
18 1 0 2 0 1 −51 0,0 27 0,0
19 2 0 0 −2 0 48 0,0 1 0,0
20 −2 0 2 0 1 46 0,0 −24 0,0
21 0 0 2 2 2 −38 0,0 16 0,0
22 2 0 2 0 2 −31 0,0 13 0,0
23 2 0 0 0 0 29 0,0 −1 0,0
24 1 0 2 −2 2 29 0,0 −12 0,0
25 0 0 2 0 0 26 0,0 −1 0,0
26 0 0 2 −2 0 −22 0,0 0 0,0
27 −1 0 2 0 1 21 0,0 −10 0,0
28 0 2 0 0 0 17 −0,1 0 0,0
29 0 2 2 −2 2 −16 0,1 7 0,0
30 −1 0 0 2 1 16 0,0 −8 0,0
31 0 1 0 0 1 −15 0,0 9 0,0
32 1 0 0 −2 1 −13 0,0 7 0,0
33 0 −1 0 0 1 −12 0,0 6 0,0
34 2 0 −2 0 0 11 0,0 0 0,0
35 −1 0 2 2 1 −10 0,0 5 0,0
36 1 0 2 2 2 −8 0,0 3 0,0
37 1 1 0 −2 0 −7 0,0 0 0,0
38 0 1 2 0 2 7 0,0 −3 0,0
39 0 −1 2 0 2 −7 0,0 3 0,0
40 0 0 2 2 1 −7 0,0 3 0,0
41 −2 0 0 2 1 −6 0,0 3 0,0
42 1 0 0 2 0 6 0,0 0 0,0
43 2 0 2 −2 2 6 0,0 −3 0,0
44 0 0 0 2 1 −6 0,0 3 0,0
45 1 0 2 −2 1 6 0,0 −3 0,0
46 0 −1 2 −2 1 −5 0,0 3 0,0
47 0 0 0 −2 1 −5 0,0 3 0,0
48 1 −1 0 0 0 5 0,0 0 0,0
49 2 0 2 0 1 −5 0,0 3 0,0
50 2 0 0 −2 1 4 0,0 −2 0,0
51 0 1 2 −2 1 4 0,0 −2 0,0
52 1 0 0 −1 0 −4 0,0 0 0,0
53 0 1 0 −2 0 −4 0,0 0 0,0
54 1 0 −2 0 0 4 0,0 0 0,0
55 0 0 0 1 0 −4 0,0 0 0,0
56 −2 0 2 0 2 −3 0,0 1 0,0
57 1 −1 0 −1 0 −3 0,0 0 0,0
58 1 1 0 0 0 −3 0,0 0 0,0
59 1 0 2 0 0 3 0,0 0 0,0
60 1 −1 2 0 2 −3 0,0 1 0,0
61 −1 −1 2 2 2 −3 0,0 1 0,0
62 3 0 2 0 2 −3 0,0 1 0,0
63 0 −1 2 2 2 −3 0,0 1 0,0
64 0 −2 2 −2 1 −2 0,0 1 0,0
65 −2 0 0 0 1 −2 0,0 1 0,0
66 1 1 2 0 2 2 0,0 −1 0,0
67 −1 0 2 −2 1 −2 0,0 1 0,0
68 2 0 0 0 1 2 0,0 −1 0,0
69 1 0 0 0 2 −2 0,0 1 0,0
70 3 0 0 0 0 2 0,0 0 0,0
71 0 0 2 1 2 2 0,0 −1 0,0
72 −1 0 2 4 2 −2 0,0 1 0,0
73 2 0 −2 0 1 1 0,0 0 0,0
74 2 1 0 −2 0 1 0,0 0 0,0
75 0 0 −2 2 1 1 0,0 0 0,0
76 0 1 −2 2 0 −1 0,0 0 0,0
77 0 1 0 0 2 1 0,0 0 0,0
78 −1 0 0 1 1 1 0,0 0 0,0
79 0 1 2 −2 0 −1 0,0 0 0,0
80 −1 0 0 0 2 1 0,0 −1 0,0
81 1 0 0 −4 0 −1 0,0 0 0,0
82 −2 0 2 2 2 1 0,0 −1 0,0
83 2 0 0 −4 0 −1 0,0 0 0,0
84 1 1 2 −2 2 1 0,0 −1 0,0
85 1 0 2 2 1 −1 0,0 1 0,0
86 −2 0 2 4 2 −1 0,0 1 0,0
87 −1 0 4 0 2 1 0,0 0 0,0
88 1 −1 0 −2 0 1 0,0 0 0,0
89 2 0 2 −2 1 1 0,0 −1 0,0
90 2 0 2 2 2 −1 0,0 0 0,0
91 1 0 0 2 1 −1 0,0 0 0,0
92 0 0 4 −2 2 1 0,0 0 0,0
93 3 0 2 −2 2 1 0,0 0 0,0
94 1 0 2 −2 0 −1 0,0 0 0,0
95 0 1 2 0 1 1 0,0 0 0,0
96 −1 −1 0 2 1 1 0,0 0 0,0
97 0 0 −2 0 1 −1 0,0 0 0,0
98 0 0 2 −1 2 −1 0,0 0 0,0
99 0 1 0 2 0 −1 0,0 0 0,0
100 1 0 −2 −2 0 −1 0,0 0 0,0
101 0 −1 2 0 1 −1 0,0 0 0,0
102 1 1 0 −2 1 −1 0,0 0 0,0
103 1 0 −2 2 0 −1 0,0 0 0,0
104 2 0 0 2 0 1 0,0 0 0,0
105 0 0 2 4 2 −1 0,0 0 0,0
106 0 1 0 1 0 1 0,0 0 0,0

Beispielwerte [Bearbeiten]

Datum
(0^h TDB)		 T D[^\circ] M[^\circ] M'[^\circ] F[^\circ] \Omega[^\circ] \Delta \psi[''] \Delta \epsilon['']
20.6.1964 −0,355331964408 120,2126 165,9158 130,9535 116,1496 92,30525 −17,3256 −0,787239
17.8.1967 −0,323764544832 136,1463 222,3130 74,89018 249,5905 31,24952 −7,41725 7,88539
12.3.2080 0,801930184805 250,9860 66,25406 135,1452 227,5530 14,00364 −3,70677 9,33751
13.12.1924 −0,750513347023 198,9391 339,7613 190,8491 323,7067 136,6408 −12,4542 −7,33544
4.11.2047 0,478398357290 192,9045 299,4156 186,1198 136,3227 279,7574 15,2424 1,67236
28.6.1974 −0,255126625599 98,35445 173,2129 68,82716 295,5717 258,4943 17,0891 −2,25946
15.5.2032 0,323682409309 62,98143 129,7884 155,8435 257,2649 218,9989 10,0856 −7,39013
25.1.2083 0,830650239562 79,08177 20,14875 160,3232 65,14120 318,4552 12,3513 6,7399
26.8.2048 0,486502395619 201,3662 231,1533 93,35776 92,21031 264,0831 18,1016 −0,434817
7.9.1940 −0,593169062286 59,17461 244,0062 35,36172 32,78325 192,3151 4,16406 −8,59891

Näherungsweise Berechnung [Bearbeiten]

Berücksichtigt man bei den fünf Polynomen nur die Terme bis zum Grad 1 und verwendet man nur die ersten vier Tabellenzeilen (diese haben die höchsten Koeffizienten), so lässt sich eine vereinfachte Formel herleiten. Dazu wird das Argument jedes Sinus- und Cosinuswertes, welches eine Linearkombination aus den fünf Eingangswerten ist, explizit berechnet. Die Umwandlung in rad wird ebenfalls durchgeführt, da die meisten Implementierungen diese Angaben benötigen.

A = \left( {\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{rr} {485868,249036} & {1717915923,2178} \\ {1287104,793048} & {129596581,0481} \\ {335779,526232} & {1739527262,8478} \\ {1072260,703692} & {1602961601,2090} \\ {450160,398036} & { - 6962890,5431} \\ \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{rr} 1 \\ T \\ \end{array} } \right) \cdot \frac{\pi }{{3600 \cdot 180}} = \left( {\begin{array}{r} 2,18243920 - 33,7570460T \\ -2,77624462 + 1256,66393T \\ 7,62068856 + 16799,4182T \\ 4,36487839 - 67,5140919T \end{array} } \right)

Die Nutation ergibt sich dann aus

\Delta \psi = 10^{-4} \cdot \left( {\begin{array}{r} - 171996 - 174,2T \\ - 13187 - 1,6T \\ - 2274 - 0,2T \\ 2062 + 0,2T \end{array} } \right) \cdot \sin A
\Delta \epsilon = 10^{-4} \cdot \left( {\begin{array}{r} 92025 + 8,9T \\ 5736 - 3,1T \\ 977 - 0,5T \\ -895 + 0,5T \\ \end{array} } \right) \cdot \cos A

wobei der Sinus und Cosinus aus einem Vektor als Vektor der Sinus bzw. Cosinus-Werte definiert ist. Das anschließende Skalarprodukt multipliziert schließlich die Werte mit den Koeffizienten aus der Tabelle.

Der Fehler beträgt für |T|<1 (also von 1900 bis 2100) bei \Delta \psi maximal 0,33" und bei \Delta \epsilon maximal 0,09".

Die IAU 2000 Theory of Nutation [Bearbeiten]

Die Theorie aus dem Jahr 2000 besteht aus einer lunisolaren und einer planetarischen Tabelle.[4] Hier kann die Genauigkeit auf 0,3 \cdot 10^{-6} Bogensekunden gesteigert werden, allerdings haben diese Tabellen etwa 470 Terme, und die exakte Position der Planeten ist ebenfalls erforderlich.

Geschichte [Bearbeiten]

Entdeckt wurde der Nutationseffekt 1728 von James Bradley, als er genaue Analysen von Sternkoordinaten vornahm. Die Ursache konnte man aber erst 20 Jahre später klären. Die Nutation hat eine ähnliche Größenordnung wie die ebenfalls von Bradley entdeckte Aberration des Lichtes.

Literatur [Bearbeiten]

Siehe auch [Bearbeiten]

Weblinks [Bearbeiten]

Einzelnachweise [Bearbeiten]

  1. ↑ P.K. Seidelmann (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley, Ca. 1992, S. 114
  2. ↑ 1980 IAU theory of nutation – The final report of the IAU Working Group on Nutation; http://adsabs.harvard.edu/abs/1982CeMec..27...79S
  3. ↑ Standards of Fundamental Astronomy FORTRAN Library, http://www.iausofa.org/2009_0201_F/CompleteList.html
  4. ↑ http://tai.bipm.org/iers/conv2003/conv2003_c5.html
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