Odds-Strategie

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Die Odds-Strategie (abgeleitet von Odds) bzw. der Bruss-Algorithmus oder die Bruss-Strategie (nach dem Entwickler des Verfahrens Franz Thomas Bruss) ist ein mathematisches Verfahren aus der Entscheidungstheorie, mit dem man mit großer Wahrscheinlichkeit eine optimale „Gelegenheit“ aus einer Folge von Ereignissen auswählen kann.

Die Strategie kann angewendet werden, wenn eine zeitliche Abfolge von unabhängigen Ereignissen vorliegt, von denen einige als „Gelegenheiten“ gelten, und bei Eintreten einer Gelegenheit nicht bekannt ist, ob später noch eine bessere Gelegenheit folgt. Ein Beispiel ist die Situation eines Gebrauchtwagenhändlers oder Immobilienmaklers, der bei Vorliegen eines Kaufangebots nicht weiß, ob später ein weiterer Kaufinteressent ein besseres Angebot macht.

Ein spezieller Fall für die Anwendung der Odds-Strategie ist das Sekretärinnenproblem, in dem der bzw. die beste Kandidat/Kandidatin ausgewählt werden soll. Die Odds-Strategie ist wesentlich allgemeiner anwendbar, da sie beliebige Definitionen "interessanter Ereignisse" zulässt. Der Algorithmus zur Berechnung der Strategie ist außerdem selbst optimal.[1]

Definitionen[Bearbeiten]

Um die Odds-Strategie anwenden zu können, muss die Realität mathematisch modelliert werden. Dazu wird eine Folge von n Ereignissen angenommen, zum Beispiel könnte jedes Ereignis ein Kaufangebot sein. Die Ereignisse werden mit dem Index k von 1 bis n durchnummeriert: E_1, E_2, \dots, E_k, \dots, E_n. Jedes Ereignis E_k ist mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p_k eine „Gelegenheit“.

Wenn p_k die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass E_k die gesuchte Gelegenheit ist, dann ist

q_k = 1-p_k

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie es nicht ist. Ihren Namen hat die Strategie vom Quotienten

r_k = \frac{p_k}{q_k},

der englisch Odds genannt wird.

Algorithmus[Bearbeiten]

Die Strategie besteht darin, ab einem bestimmten Index s, dem sogenannten „Stoppindex“, die erste Gelegenheit wahrzunehmen, die besser ist als alle bisherigen Gelegenheiten.

Der Stoppindex s wird bestimmt, indem die Odds rückwärts aufgeschrieben werden: r_n, r_{n-1}, r_{n-2} usw. Dabei werden sie aufsummiert, und zwar solange, bis die Summe 1 erreicht oder übertroffen wird. Man definiert dazu die Summe

R_k = \sum_{i=k}^n r_i

und dasjenige k, bei dem der Wert dieser Summe erstmals den Wert 1 erreicht oder übertrifft, bildet den Stoppindex s.

Erfolgswahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

Die Odds-Strategie ist optimal unter der Vorgabe, von allen Gelegenheiten mit der höchsten Wahrscheinlichkeit die letzte Gelegenheit zu wählen. In der Anwendung wird dabei unter Gelegenheit oft ein Ereignis verstanden, das nach einem Kriterium besser als alle vorherigen Ereignisse ist, zum Beispiel ein besseres Angebot als alle vorgehenden Angebote. In diesem Kontext wählt die Odds-Strategie im Vergleich zu anderen Strategien das beste Angebot mit höchster Wahrscheinlichkeit.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit für die Odds-Strategie, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die letzte beziehungsweise beste Gelegenheit genutzt wird, ist: W = R_s \cdot Q_s. Hierbei ist

R_s = \sum_{i=s}^n r_i

die Summe der Odds und

Q_s = \prod_{i=s}^n q_i

die Wahrscheinlichkeit, dass unter den in Frage kommenden Ereignissen keine Gelegenheit ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Sekretärinnenproblem[Bearbeiten]

k p_k q_k r_k R_k
16 0,0625 0,9375 0,0667 0,0667
15 0,0667 0,9333 0,0714 0,1381
14 0,0714 0,9286 0,0769 0,2150
13 0,0769 0,9231 0,0833 0,2984
12 0,0833 0,9167 0,0909 0,3893
11 0,0909 0,9091 0,1000 0,4893
10 0,1000 0,9000 0,1111 0,6004
9 0,1111 0,8889 0,1250 0,7254
8 0,1250 0,8750 0,1429 0,8682
7 0,1429 0,8571 0,1667 1,0349
Hauptartikel: Sekretärinnenproblem

Angenommen, der Gebrauchtwagenverkäufer weiß, dass sich in einem Monat durchschnittlich 16 Kunden für ein Auto interessieren, und er möchte natürlich demjenigen Kunden verkaufen, der den höchsten Preis bietet. Ein Ereignis ist für den Gebrauchtwagenhändler also dann eine „Gelegenheit“, wenn es besser ist als alle vorherigen.

Für das erste Angebot gilt das mit Sicherheit, also ist p_1 = 1. Für das zweite Angebot ist p_2 = \tfrac{1}{2}, wenn jede Ankunftsreihenfolge als gleich wahrscheinlich vorausgesetzt wird, allgemein gilt dann p_k = \tfrac{1}{k}. Daraus folgt q_k = \tfrac{k-1}{k} und r_k = \tfrac{p_k}{q_k} = \tfrac{1}{k-1}.

Da der Gebrauchtwagenhändler durchschnittlich 16 Kunden pro Monat hat, ist n = 16. Die nebenstehende Tabelle zeigt, dass der Stoppindex s=7 ist, weil bei k=7 die Summe \textstyle R_k = \sum_{i=k}^n r_i der rückwärts aufsummierten Odds den Wert 1 erstmals erreicht bzw. überschreitet. Der Gebrauchtwagenhändler muss also bis zum siebten Angebot warten, und dann das erste annehmen, das besser ist als alle vorherigen.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist W = R_s \cdot Q_s = 1{,}0349 \cdot 0{,}3750 = 0{,}3881, also zirka 39 %. Mit anderen Worten: Der Gebrauchtwagenhändler verkauft das Auto in 39 % aller Fälle zum besten Preis.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Das vorherige Beispiel ist das „Sekretärinnenproblem“. Die Lösung ist weniger interessant, sobald der Gebrauchtwagenhändler Zusatzinformationen besitzt. Hier zeigt sich der Vorteil der allgemeinen Definition der r_k = \tfrac{p_k}{q_k} in der Odds-Strategie. Nehmen wir als einfaches Beispiel an, der Gebrauchtwagenhändler kenne drei der letzten potentiellen Kunden und glaube aus Erfahrung zu wissen, dass jeder dieser drei den bisherigen Höchstpreis unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit p überbietet. Wenn p mindestens den Wert \tfrac{1}{4} besitzt (bzw. die entsprechenden r_k mindestens den Wert \tfrac{1}{3}), so zeigt nun die Odds-Strategie, dass es optimal ist, zumindest auf eine weitere Angebotserhöhung zu setzen. Verallgemeinerungen für eine unbekannte Anzahl von potentiellen Kunden sind ebenfalls möglich mittels einer Integralversion (Bruss 2000) der Odds-Strategie.

Siehe auch[Bearbeiten]

Verwandte Themen, bei denen man aus Teilinformation die optimale Entscheidung des Restproblems treffen kann:

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Bruss, Louchard: The Odds-algorithm based on sequential updating and its performance. AAP, Nr. 41, 2009, S. 131-153. (ps)