Offenheitssatz

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Dieser Artikel behandelt den Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie. Für den funktionalanalytischen Satz siehe Satz über die offene Abbildung.

Der Offenheitssatz, manchmal auch Satz von der offenen Abbildung, ist ein Satz der Funktionentheorie und besagt, dass Bilder offener Mengen unter holomorphen Abbildungen, die auf keiner Zusammenhangskomponente der offenen Menge konstant sind, wieder offen sind. Eine Folgerung aus diesem Satz ist das Maximumprinzip für holomorphe Funktionen. Höherdimensionale Aussagen dieser Art gelten nicht.

Satz der offenen Abbildung für holomorphe Funktionen[Bearbeiten]

Sei  U \subseteq \mathbb{C} offen und f\colon U \to \mathbb{C} eine holomorphe Funktion, die auf keiner Zusammenhangskomponente von U konstant ist. Dann ist f(U) eine offene Menge.

Eine unmittelbare Folgerung ist die Gebietstreue holomorpher Funktionen.

Sei f : G \to \C eine nicht-konstante, holomorphe Funktion auf einem Gebiet G, dann ist f(G) ebenfalls ein Gebiet.

Quellen[Bearbeiten]