Oktave (Mathematik)

𝕆

Die (reellen) Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Erweiterung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol $\mathbb{O}$. Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen und bilden einen Alternativkörper. Damit liefern sie als Koordinatenbereich ein Beispiel für eine echte, das heißt nichtdesarguessche Moufangebene in der synthetischen Geometrie.

Geschichte

Die Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Thomas Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley (als erstem) veröffentlicht.

Multiplikationstabelle

Die Oktonionen sind eine 8-dimensionale Algebra über den reellen Zahlen. Eine mögliche Multiplikation ist – mit der Basis $(1,i,j,k,l,m,n,o)$ – wie folgt gegeben:

$\begin{matrix} i^2=j^2=k^2=l^2=m^2=n^2=o^2=-1\\ i=jk=lm=on=-kj=-ml=-no\\ j=ki=ln=mo=-ik=-nl=-om\\ k=ij=lo=nm=-ji=-ol=-mn\\ l=mi=nj=ok=-im=-jn=-ko\\ m=il=oj=kn=-li=-jo=-nk\\ n=jl=io=mk=-lj=-oi=-km\\ o=ni=jm=kl=-in=-mj=-lk \end{matrix}$

Daraus errechnet sich das Produkt der Einheiten

$ijklmno\,=\,-1$

Eigenschaften

Die Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement.

Sie bilden keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper), denn sie verletzen das

Assoziativgesetz der Multiplikation: $a \cdot ( b \cdot c ) = ( a \cdot b ) \cdot c$.

Es gilt jedoch für alle Oktaven a und b:

$a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b$ und $a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b$.

Diese Eigenschaft wird Alternativität genannt. Die Oktonionen bilden einen Alternativkörper.

Aus der Alternativität folgt die Beziehung

$a \cdot (b \cdot a) = ( a \cdot b ) \cdot a$.

Diese Beziehung wird auch Flexibilitätsgesetz genannt.

Die Oktonionen erfüllen außerdem die Moufang-Identitäten

$[a \cdot (b \cdot a)] \cdot c = a \cdot [b \cdot (a \cdot c)]$

und

$(a \cdot b) \cdot (c \cdot a) = a \cdot [(b \cdot c) \cdot a]$

Anwendung des Verdopplungsverfahrens auf die Oktaven liefert die Sedenionen.

Darstellungen

Jede Oktave kann dargestellt werden ...

... als 8er-Tupel von reellen Zahlen:

$(r_1, r_2, \ldots, r_8)$

... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen:

$(c_1, c_2, c_3,c_4)$

... als geordnetes Paar von Quaternionen:

$(h_1,h_2)$

Der Körper der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ kann als Unterstruktur von $\mathbb{O}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen $r$ aus $\mathbb{R}$ gilt:

$r$ entspricht $(r, 0, \ldots , 0)$

Der Körper der komplexen Zahlen $\mathbb C$ kann als Unterstruktur von $\mathbb{O}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen $c$ aus $\mathbb C$ gilt:

$c$ entspricht $(c, 0, 0, 0)$

Der Schiefkörper der Quaternionen $\mathbb H$ kann als Unterstruktur von $\mathbb{O}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen $h$ aus $\mathbb H$ gilt:

$h$ entspricht $(h, 0)$

Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt ...

... für alle reellen Zahlen $r$ und $s$ gilt:

$r + s = (r, 0, ... , 0) + (s, 0, ... , 0)$

$r \cdot s = (r, 0, ... , 0) \cdot (s, 0, ... ,0)$

... für alle komplexen Zahlen $c$ und $d$ gilt:

$c + d = (c, 0, 0, 0) + (d, 0, 0, 0)$

$c \cdot d = (c, 0, 0, 0) \cdot (d, 0, 0, 0)$

... für alle Quaternionen $h$ und $i$ gilt:

$h + i = (h, 0) + (i, 0)$

$h \cdot i = (h, 0) \cdot (i, 0)$

Mögliche Anwendungen

Oktaven könnten zur Beschreibung einer achtdimensionalen Supersymmetrie dienen. Damit ergäben sich auch mögliche Anwendungen in Zusammenhang mit der Stringtheorie und der M-Theorie, da beide auf der Supersymmetrie aufbauen.

Literatur

• Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
• Bartel Leendert van der Waerden: A history of Algebra. Springer, Heidelberg.
• Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern. In: Math. Ann. 110, 1934, S. 416.
• John Baez: The Octonions. In: Bull. Amer. Math. Soc. 39, 2002, S. 145–205 (online).
• John Horton Conway, Derek A. Smith: On Octonions and Quaternions. , Natick, MA 2003, ISBN 1-56881-134-9.

Verwandte Themen

Hyperkomplexe Zahlen:

• Biquaternion
• Quaternion
• Sedenion