Oktave (Mathematik)

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Die (reellen) Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Erweiterung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol \mathbb{O}. Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen und bilden einen Alternativkörper. Damit liefern sie als Koordinatenbereich ein Beispiel für eine echte, das heißt nichtdesarguessche Moufangebene in der synthetischen Geometrie.

Geschichte[Bearbeiten]

Die Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Thomas Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley (als Erstem) veröffentlicht.

Multiplikationstabelle[Bearbeiten]

Die Oktonionen sind eine 8-dimensionale Algebra über den reellen Zahlen. Eine mögliche Multiplikation ist – mit der Basis (1,i,j,k,l,m,n,o) – wie folgt gegeben:

\begin{matrix}
 i^2=j^2=k^2=l^2=m^2=n^2=o^2=-1\\
 i=jk=lm=on=-kj=-ml=-no\\
 j=ki=ln=mo=-ik=-nl=-om\\
 k=ij=lo=nm=-ji=-ol=-mn\\
 l=mi=nj=ok=-im=-jn=-ko\\
 m=il=oj=kn=-li=-jo=-nk\\
 n=jl=io=mk=-lj=-oi=-km\\
 o=ni=jm=kl=-in=-mj=-lk
\end{matrix}

Daraus errechnet sich das Produkt der Einheiten

ijklmno\,=\,-1

Statt der reellen Zahlen als Koeffizienten kann man jeden Körper K verwenden, man spricht dann von der Cayley-Algebra über K.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement.

Sie bilden keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper), denn sie verletzen das

Assoziativgesetz der Multiplikation: a \cdot ( b \cdot c ) = ( a \cdot b ) \cdot c.

Es gilt jedoch für alle Oktaven a und b:

a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b und a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b.

Diese Eigenschaft wird Alternativität genannt. Die Oktonionen bilden einen Alternativkörper.

Aus der Alternativität folgt die Beziehung

a \cdot (b \cdot a) = ( a \cdot b ) \cdot a.

Diese Beziehung wird auch Flexibilitätsgesetz genannt.

Die Oktonionen erfüllen außerdem die Moufang-Identitäten

[a \cdot (b \cdot a)] \cdot c = a \cdot [b \cdot (a \cdot c)]

und

(a \cdot b) \cdot (c \cdot a) = a \cdot [(b \cdot c) \cdot a]

Anwendung des Verdopplungsverfahrens auf die Oktaven liefert die Sedenionen.

Darstellungen[Bearbeiten]

Jede Oktave kann dargestellt werden…

… als 8er-Tupel von reellen Zahlen: (r_1, r_2, \dotsc, r_8)
… als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: (c_1, c_2, c_3,c_4)
… als geordnetes Paar von Quaternionen: (h_1,h_2)

Der Körper der reellen Zahlen \mathbb{R} kann als Unterstruktur von \mathbb{O} betrachtet werden:

Für alle Zahlen r aus \mathbb{R} gilt: r entspricht (r, 0, \dotsc, 0)

Der Körper der komplexen Zahlen \mathbb C kann als Unterstruktur von \mathbb{O} betrachtet werden:

Für alle Zahlen c aus \mathbb C gilt: c entspricht (c, 0, 0, 0)

Der Schiefkörper der Quaternionen \mathbb H kann als Unterstruktur von \mathbb{O} betrachtet werden:

Für alle Zahlen h aus \mathbb H gilt: h entspricht (h, 0)

Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt…

… für alle reellen Zahlen r und s gilt:
r + s = (r, 0, \dotsc, 0) + (s, 0, \dotsc, 0)
r \cdot s = (r, 0, \dotsc, 0) \cdot (s, 0, \dotsc,0)
… für alle komplexen Zahlen c und d gilt:
c + d = (c, 0, 0, 0) + (d, 0, 0, 0)
c \cdot d = (c, 0, 0, 0) \cdot (d, 0, 0, 0)
… für alle Quaternionen h und i gilt:
h + i = (h, 0) + (i, 0)
h \cdot i = (h, 0) \cdot (i, 0)

Anwendungen[Bearbeiten]

Mittels der Cayley-Algebren lassen sich exzeptionelle Jordan-Algebren konstruieren und mittels Räumen von Derivationen auf solchen Jordan-Algebren können exzeptionelle Lie-Algebren angegeben werden.

In der Physik könnten Oktaven zur Beschreibung einer achtdimensionalen Supersymmetrie dienen. Damit ergäben sich auch mögliche Anwendungen in Zusammenhang mit der Stringtheorie und der M-Theorie, da beide auf der Supersymmetrie aufbauen.[1]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. John C. Baez, John Huerta: Exotische Zahlen und die Stringtheorie. In: Spektrum der Wissenschaft, Oktober 2011. Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, Heidelberg. ISSN 0170-2971

Verwandte Themen[Bearbeiten]

Hyperkomplexe Zahlen: