Optimale Steuerung

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Die Theorie der optimalen Steuerungen (engl. optimal control theory) ist eng verwandt mit der Variationsrechnung und der Optimierung. Eine optimale Steuerung u ist eine Funktion, welche eine gegebene Zielfunktion unter einer Differentialgleichungs-Nebenbedingungen und eventuell noch weiteren Restriktionen minimiert oder maximiert.

Zum Beispiel könnte ein Autofahrer versuchen, ein Ziel in möglichst geringer Zeit zu erreichen. Wann schaltet der Autofahrer am besten? Möglicherweise müssen gewisse Nebenbedingungen, z. B. Geschwindigkeitsbegrenzungen, eingehalten werden. Ein anderer Autofahrer versucht dagegen vielleicht, den Kraftstoffverbrauch zu minimieren, d. h., er wählt eine andere Zielfunktion.

Das Problem der optimalen Steuerung[Bearbeiten]

Es gibt mehrere mathematische Formulierungen der Aufgabenstellung, wobei wir hier eine möglichst allgemeine Form angeben.

Seien \mathcal{C}_a:\R^{n}\rightarrow \R, \mathcal{C}_b:\R^{n}\rightarrow \R, f:[a,b]\times\R^{n}\times\R^{m} \rightarrow \R^{n}, g:[a,b]\times\R^{n}\times\R^{m} \rightarrow \R und U\subset\R^{m}.

Gesucht ist ein Zustand x:\R \rightarrow \R^{n} sowie eine Steuerung u:\R \rightarrow \R^{m}, sodass gilt:

\mathcal{C}_a(x(a))+\mathcal{C}_b(x(b))+\int_{a}^{b} g(t,x(t),u(t))dt \rightarrow \min

unter den Nebenbedingungen:

  1. \dot{x}(t)=f(t, x(t),u(t)),~x(a)=x_a
  2. u(t) \in U für t \in [a,b]

Ein u, das diese Gleichung erfüllt, wird als optimale Steuerung bezeichnet.

Häufig treten zusätzlich noch sogenannte Zustandsbeschränkungen auf, d.h. der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt ist zusätzlich gewissen Restriktionen unterworfen.

Von Interesse sind in erster Linie die folgenden Fragestellungen:

  1. Existieren Lösungen und wie kann man sie berechnen?
  2. Welche notwendigen Bedingungen gibt es? Hierbei ist vor allem das Maximumprinzip von Pontrjagin von Bedeutung.
  3. Wann sind die notwendigen Bedingungen sogar hinreichend?

Während die Variationsrechnung Konkurrenzfunktionen lediglich auf offenen Mengen zuließ, wurden in den Optimalsteuerungen allgemeinere Voraussetzungen (u. a. abgeschlossene Mengen für die Steuerfunktionen u) betrachtet mit einem anderen Formalismus, der zwischen Steuerfunktionen u(t) und Zustandsfunktionen x(t) unterscheidet. Das Pontrjaginsche Maximumprinzip ist eine Verallgemeinerung der Weierstraß'schen Bedingung der Variationsrechnung. Für das Maximumprinzip waren neue Beweismethoden (u.a. Separation von Kegeln, Nadelvariationen) erforderlich.

Ökonomische Anwendungen[Bearbeiten]

Die Methodik der optimalen Steuerung wurde schon früh auf praktische Bereiche der Ökonomie angewandt. Robert Dorfman legte 1969 eine ökonomische Interpretation der Theorie der Optimalen Steuerung vor.[1]

Beispiel[Bearbeiten]

Eine Firma möchte ihre Gewinne über eine bestimmte Zeitperiode maximieren. Zu jedem Zeitpunkt t besitzt sie einen Kapitalstock aufgrund früheren Verhaltens, k(t). Gegeben diesem Kapitalstock k(t) kann die Firma eine Entscheidung x(t) treffen (z. B. bzgl. des Outputs, Preises, etc.). Gegeben k(t) und x(t) erhält die Firma pro Zeiteinheit einen Gewinn u(k(t),x(t)). Es lässt sich dann für ein Zeitintervall [t,T] ein dynamisches Optimierungsproblem formulieren: [2]

 
\begin{align}
W(k(t), \vec x,t) &= \int_t^T u(k( \tau),x( \tau), \tau) d \tau  \\
 \dot k(t) &= f(k(t), x(t), t)  
\end{align}

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. An Economic Interpretation of Optimal Control Theory Pdf-Version des Artikels. In: The American Economic Review.
  2. Optimal Control (PDF; 307 kB) Chapter 2 aus einem Skript Dynamic Modeling von Peter Thompson. Goizueta Business School.

Literatur[Bearbeiten]

  •  B.S. Mordukhovich: Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications. Springer Verlag, Berlin 2006.
  •  M. Plail: Die Entwicklung der optimalen Steuerungen. Vandenhoeck und Ruprecht Verlag, Göttingen 1998.
  •  L.S. Pontrjagin: Mathematische Theorie optimaler Prozesse. Oldenbourg Verlag, Wien 1964.

Weblinks[Bearbeiten]

  • Robert Dorfman. An Economic Interpretation of Optimal Control Theory. The American Economic Review. Volume 59. Issue 5 (Dec., 1969), 817-831. Online-Version (pdf)