Ordnung eines Gruppenelementes

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements g einer Gruppe (G, \cdot) die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g^n=e gilt, wobei e das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, g habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit \operatorname{ord}(g) oder o(g) bezeichnet.

Dafür definiert man die Potenz eines Gruppenelementes:

  •  a^0 := e
  •  a^{n+1} := a^n \cdot a mit  n \in \N

Die Zahl  \operatorname{Exp}(G):=\operatorname{kgV}\left\{\operatorname{ord}(g)\,|\,g\in G\right\} wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, die ein Teiler der Gruppenordnung, d.h. der Anzahl der Elemente der Gruppe, ist.
  • Umgekehrt existiert nach den Sylow-Sätzen zu jedem Primteiler p der Gruppenordnung bei einer endlichen Gruppe ein Element, das die Ordnung p hat. Für Teiler, die keine Primzahlen sind, ist keine allgemeine Aussage möglich.
  • Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
  • Es gilt x^d=e genau dann, wenn d ein Vielfaches der Ordnung des Elements g ist.
  • In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes gh ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von g und h. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element \left[\!\begin{smallmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{smallmatrix}\!\right] der Gruppe SL2(Z) unendliche Ordnung, es ist aber gleich dem Produkt der Elemente \left[\!\begin{smallmatrix}0 & 1\\
-1 & 0\end{smallmatrix}\!\right] und \left[\!\begin{smallmatrix}0 & -1\\
1 & 1\end{smallmatrix}\!\right] mit den jeweiligen Ordnungen 4 bzw. 6.

Literatur[Bearbeiten]

  • J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.