Ordnungsstatistik

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In der Statistik werden die der Größe nach geordneten Realisationen einer Stichprobe aus einer stetigen Zufallsvariablen X als Ordnungsstatistik bezeichnet. Aus einer Realisation x_1, x_2, \ldots, x_n erhält man so die geordnete Stichprobe X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)} mit den Werten x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}. X_{(i)} ist als die i-te geordnete Statistik definiert. Eine weitere übliche Bezeichnung für die Ordnungsstatistik ist X_{1:n}, X_{2:n}, \ldots, X_{n:n}.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die geordneten Statistiken X_{(i)} sind stochastisch abhängig und nicht identisch verteilt.

Verteilung der Ordnungsstatistiken[Bearbeiten]

Für die Verteilungsfunktion der i-ten Ordnungsstatistik gilt

F_{X_{(i)}}(y) = \sum_{j=i}^n \binom{n}{j} F(y)^j \left[ 1 - F(y) \right]^{n-j}, \quad y \in \R,\ 1 \leq i \leq n,\ F = F_X.

Wichtige Spezialfälle der Verteilung ergeben sich für das Minimum (i=1) und Maximum (i = n) als

F_{X_{(1)}}(y) = 1 - \left[ 1 - F(y) \right]^n \text{ bzw.}
F_{X_{(n)}}(y) = \left[ F(y) \right]^n.

Anwendung[Bearbeiten]

In der nichtparametrischen Statistik lassen sich Rangstatistiken oder empirische Verteilungsfunktionen durch Ordnungsstatistiken ausdrücken. Zudem können aus Ordnungsstatistiken schwach konsistente Schätzer für Quantile abgeleitet werden. Weiter lassen sich durch oben genannte Verteilung über Faltungen und Transformationssätze die Verteilung von wichtigen Maßzahlen wie dem Median oder der Spannweite gewinnen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Herbert Büning und Götz Trenkler: Nichtparametrische statistische Methoden. 2. Auflage, de Gruyter, Berlin und New York 1994, ISBN 3-11-016351-9