Orientierung (Mathematik)

Die Orientierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und der Differentialgeometrie. In einem $n$-dimensionalen Raum haben zwei Basen die gleiche Orientierung, wenn sie durch lineare Abbildungen mit positiver Determinante (zum Beispiel Streckungen und Drehungen) auseinander hervorgehen. Sind zusätzlich Spiegelungen erforderlich, so ist die Determinante negativ und die Basen sind nicht gleich orientiert.

Anschaulich gibt es zwei mögliche Orientierungen, ein Wechsel zwischen den Orientierungen ist durch Drehungen nicht möglich. Beispiele:

• Spiegelschrift hat eine andere Orientierung als Schrift.
• Uhren drehen sich rechtsherum im Uhrzeigersinn und nicht linksherum.
• Mein Spiegelbild hat eine andere Orientierung als ich.
• Schrauben mit Rechtsgewinde haben eine andere Orientierung als Schrauben mit Linksgewinde.

Orientierung eines Vektorraums

Einleitung

$V$ sei ein endlichdimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum. Dann kann man jede lineare Abbildung $f:V \rightarrow V$ (solch eine Abbildung nennt man einen Endomorphismus) als (Koordinaten-)matrix darstellen. Diese Matrixdarstellung ist jedoch von der Wahl der Basis von $V$ abhängig. Seien nun $A$ und $B$ Basen von $V$. Um nun $f$ von der Basis $A$ in die Basis $B$ zu transformieren, kann man immer eine Basiswechselsmatrix $T^{A}_{B}$ finden. Es ändert sich also unter verschiedenen Basen die Darstellung der Funktion $f$.

Nun untersucht man die Determinante von $T^{A}_{B}$. Diese kann niemals Null werden, da Basiswechselmatrizen immer bijektiv und damit regulär sind. Nimmt $\det(T^{A}_{B})$ einen positiven Wert an, so sagt man, die Basen $A$ und $B$ haben dieselbe Orientierung. Wie man sich leicht überlegen kann, ist nicht jeder Vektorraum orientierbar. Um einen orientierbaren Vektorraum zu erhalten, muss dieser über einem Körper mit Ordnungsrelation definiert sein, so zum Beispiel alle Vektorräume über $\mathbb{R}$.

Definition

Die Orientierung ist über eine Äquivalenzrelation zwischen Basen eines $\R$-Vektorraumes definiert. Man definiert die Äquivalenzrelation über die Basistransformationsmatrix $T^{A}_{B}$ zwischen zwei Basen $A$, $B$ wie folgt:

$A \sim B :\Leftrightarrow \det \big(T^{A}_{B}\big) > 0$.

Bezüglich dieser Äquivalenzrelation gibt es zwei Äquivalenzklassen. Dass diese Äquivalenzrelation wohldefiniert ist und es tatsächlich nur zwei Äquivalenzklassen gibt, sichert der Determinantenmultiplikationssatz sowie die Tatsache, dass Basistransformationen umkehrbar sind.

Man nennt nun jede dieser beiden Äquivalenzklassen eine Orientierung. Eine Orientierung eines Vektorraums wird also angegeben, indem man eine Äquivalenzklasse von Basen angibt, zum Beispiel, indem man eine zu dieser Äquivalenzklasse gehörende Basis angibt.

Jede zu der ausgewählten Äquivalenzklasse gehörende Basis heißt dann positiv orientiert, die andern heißen negativ orientiert.

Beispiel

In $\R^2$ sind sowohl $(e_1,e_2)$, als auch $(e_2,e_1)$ Basen. Die Basistransformationsmatrix ist $M=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{smallmatrix}\right)$. Die Determinante von $M$ ist: $\det(M) = -1$. Also sind die beiden Basen nicht gleich orientiert und Repräsentanten der beiden verschiedenen Äquivalenzklassen.

Das lässt sich leicht veranschaulichen: Die erste Basis entspricht einem „normalen“ $(x,y)$-Koordinatensystem, bei dem die $x$-Achse nach rechts und die $y$-Achse nach oben „zeigt“. Kehrt man eine dieser beiden Achsen um, „zeigt“ also die $x$-Achse nach links oder die $y$-Achse nach unten, dann erhält man eine zweite Basis mit anderer Orientierung.

Orientierung einer Mannigfaltigkeit

Eine nichtorientierbare Mannigfaltigkeit - Das Möbiusband

Definition (mittels des Tangentialraums)

Eine Orientierung $\mathcal O = \left\{ \mathcal O_p \right\}_{p\in M}$ einer $n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist eine Familie von Orientierungen $\mathcal O_p$ für jeden einzelnen Tangentialraum $T_p M$, die in folgendem Sinne stetig vom Fußpunkt $p$ abhängt:

Zu jedem Punkt $p \in M$ existiert eine auf einer offenen Umgebung $U$ von $p$ definierte Karte $\varphi\colon U \to V \subset \R^n$ mit Koordinatenfunktionen $x^1\colon U \to \R$, … , $x^n\colon U \to \R$, so dass an jedem Punkt $q \in U$ die durch die Karte im Tangentialraum $T_q M$ induzierte Basis

$\left(\frac{\partial}{\partial x^1}\Big|_q, \dots, \frac{\partial}{\partial x^n}\Big|_q\right)$

bezüglich $\mathcal O_q$ positiv orientiert ist.

Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar, falls eine solche Orientierung existiert. Eine äquivalente Charakterisierung von Orientierbarkeit liefert der folgende Satz:

$M$ ist genau dann orientierbar, wenn ein Atlas $\mathcal A$ von $M$ existiert, so dass für alle Karten $\varphi, \psi$ mit nichtleerem Schnitt $U^\phi \cap U^\psi \neq \emptyset$ und für alle $x$ im Definitionsbereich $\psi(U^\phi \cap U^\psi)$ von $\phi \circ \psi$ gilt:

$\det\big( D_x(\varphi \circ \psi^{-1})\big) >0$

Hierbei bezeichnet $D_x$ die Jacobi-Matrix.

Koordinatenfreie Definition

Sei $M$ eine glatte, $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Diese Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn auf $M$ eine glatte, nicht-degenerierte $n$-Form $\alpha$ existiert.

Homologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit

Sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und $R$ ein Ring. Mit Hilfe des Ausschneidungsaxioms für eine Homologietheorie erhält man:

$H_n(M,M\setminus\{x\})\cong H_n(\R^n,\R^n\setminus\{0\})\cong R$

Eine $R$-Orientierung auf $M$ ist eine Auswahl von Erzeugern

$\{\mu_x\in H_n(M,M\setminus\{x\})|x\in M\}$

mit folgender Kompatibilitätsbedingung: Für jedes $x\in M$ gibt es eine offene Umgebung $U\subset M$ und ein Element $\mu_U\in H_n(M,M\setminus U)$, so dass für alle $y\in U$ die von der Inklusion von Raumpaaren induzierte Abbildung auf der Homologie

$H_n(M,M\setminus U)\rightarrow H_n(M,M\setminus \{y\})$

das Element $\mu_U$ auf $\mu_y$ abbildet. Beispielsweise stimmt der Begriff der $\Z$-Orientierung mit dem gewöhnlichen Orientierungsbegriff überein. Für andere Ringe kann man allerdings andere Ergebnisse erhalten; so ist zum Beispiel jede Mannigfaltigkeit $\Z_2$-orientierbar.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Tudor Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). 2. Ausgabe. Springer-Verlag, New York u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7 (Auch Nachdruck dieser Auflage: 2009).
• Klaus Jänich: Vektoranalysis. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-57142-6, S. 70ff.