Orthogonale Polynome

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Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen

P_0(x), P_1(x), P_2(x), \dots

in einer Unbekannten x, so dass P_n(x) den Grad n hat, die orthogonal bezüglich eines L^2 Skalarproduktes sind.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mu ein Borel-Maß auf \mathbb{R} und betrachte den Hilbertraum L^2(\mathbb{R}, d\mu) der bezüglich \mu quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

\langle f, g\rangle = \int_{\mathbb{R}} \overline{f(x)} g(x) d\mu(x).

Weiter sei \textstyle \int_{\mathbb{R}} |x|^n d\mu(x) < \infty für alle n\in\mathbb{N}. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß kompakten Träger besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit \mu(\mathbb{R}) =1 fordern. Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion w(x) gegeben: d\mu(x) = w(x) dx.

Eine Folge von Polynomen P_n, n\in\mathbb{N}_0, heißt Folge orthogonaler Polynome, falls P_n(x) Grad n hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

\langle P_m, P_n\rangle = 0, \qquad m \neq n.

Konstruktion[Bearbeiten]

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren aus den Monomen x^n, n\in\mathbb{N}_0, konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich die Momente

m_n = \int_{\mathbb{R}} x^n d\mu(x)

zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes'sches Momentenproblem bekannt.

Normierung[Bearbeiten]

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben führen wir folgende Konstanten ein:

h_n = \langle P_n, P_n\rangle = \int_{\mathbb{R}} P_n(x)^2 d\mu(x), \qquad
\tilde{h}_n = \langle P_n(x), x\, P_n(x)\rangle = \int_{\mathbb{R}} x\, P_n(x)^2 d\mu(x)

und

P_n(x)=k_n x^n+\tilde{k}_n x^{n-1}+\tilde{\tilde{k}}_n x^{n-2}+\cdots.

Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal falls h_n=1 und als monisch falls k_n=1.

Rekursionsrelation[Bearbeiten]

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

P_{n+1}(x) = (A_n x +B_n) P_n(x) - C_n P_{n-1}(x)

(wobei P_{-1}(x)=0 im Fall n=0 zu setzen ist) mit


A_n=\frac{k_{n+1}}{k_{n}}, \quad
B_n=\left(\frac{\tilde{k}_{n+1}}{k_{n+1}}-\frac{\tilde{k}_n}{k_n}\right)A_n=-\frac{\tilde{h}_n}{h_n}A_n, \quad
C_n=\frac{A_n\tilde{\tilde{k}}_n+B_n\tilde{k}_n-\tilde{\tilde{k}}_{n+1}}{k_{n-1}}=\frac{A_n}{A_{n-1}}\frac{h_n}{h_{n-1}},

und den Konstanten h_n,k_n,\tilde{k}_n,\tilde{\tilde{k}}_n aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

a_n P_{n+1}(x) + b_n P_n(x) + c_n P_{n-1}(x) =  x\, P_n(x)

mit


a_n=\frac{k_n}{k_{n+1}}, \quad
b_n=\frac{\tilde{k}_n}{k_n}-\frac{\tilde{k}_{n+1}}{k_{n+1}}=\frac{\tilde{h}_n}{h_n}, \quad
c_n=\frac{\tilde{\tilde{k}}_n-a_n\tilde{\tilde{k}}_{n+1}-b_n\tilde{k}_n}{k_{n-1}}=a_{n-1}\frac{h_n}{h_{n-1}},

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Poynomen, h_n=1, erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation c_n=a_{n-1} und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators. Das Maß d\mu ist das Spektralmaß des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor \delta_{1,n}.

Christoffel–Darboux-Formel[Bearbeiten]

Es gilt

\sum _{m=0}^n\frac{P_m(x)P_m(y)}{h_m}=\frac{k_n}{h_n k_{n+1}}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_n(x)P_{n+1}(y)}{x-y}

und im Fall x=y erhält man durch Grenzwertbildung

\sum _{m=0}^n\frac{P_m(x)^2}{h_m}=\frac{k_n}{h_nk_{n+1}}{\left(P_{n+1}'(x)P_n(x)-P_n'(x)P_{n+1}(x)\right)}.

Nullstellen[Bearbeiten]

Das Polynom P_n hat genau n Nullstellen, die alle einfach sind und im Träger des Maßes liegen. Die Nullstellen von P_n liegen strikt zwischen den Nullstellen von P_{n+1}.

Liste von orthogonalen Polynomen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Herausg.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover (1965), ISBN 978-0486612720 (Kapitel 22)
  • Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. ISBN 0-8218-1023-5.

Weblinks[Bearbeiten]

Orthogonale Polynome in der NIST Digital Library of Mathematical Functions