Oszillierendes Integral

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Ein oszillierendes Integral ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis beziehungsweise aus der mikrolokalen Analysis. Es ist ein verallgemeinerter Integralbegriff, welcher insbesondere im Bereich der Distributionentheorie Anwendung findet. Da die Phasenfunktion den Integranden oszillieren lässt, wurde das Integral entsprechend oszillierendes Integral genannt. Eingeführt wurde dieser Begriff von Lars Hörmander.

Phasenfunktion[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Eine Funktion \phi \in C^\infty(X \times \R^n\backslash \{0\}) heißt Phasenfunktion, falls für alle (x,\xi) \in X \times \R^n \backslash \{0\}

  • der Imaginärteil nichtnegativ ist, das heißt
\operatorname{Im}\phi(x,\xi) \geq 0.
  • die Funktion homogen ist, das heißt
 \phi(x,\lambda \xi) = \lambda \phi(x,\xi) für alle \lambda > 0.
  • das Differential ungleich null ist, das heißt
 \frac{\mathrm{d} \phi(x,\xi)}{\mathrm{d}(x,\xi)} \neq 0.

Beispiel[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

Sei \phi eine Phasenfunktion wie zum Beispiel \phi(x,\xi) = \langle x , \xi \rangle und sei a \in S_{\rho,\delta}^m(X \times \R^n) ein Symbol mit m + k < - n, \ k \in \N. Dann gilt

I_\phi(a)(x) = \int_{\R^n} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi \in C^k(X)

und die Abbildung

S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n) \to C^k(X),\quad a \mapsto I_{\phi}(a)

ist stetig. Diese Typen von Parameterintegralen sind im Bereich der Funktionalanalysis verbreitet. So haben zum Beispiel die Fourier-Transformation und die Zweiseitige Laplacetransformation diese Gestalt. Oder auch die Lösung der Bessel'schen Differentialgleichung

 J_k(\lambda) = (2\pi)^{-1} \int_0^{2\pi} e^{i\lambda \sin(\xi)} e^{i k \xi} \mathrm{d} \xi

kann so notiert werden.

Fortsetzungssätze[Bearbeiten]

Fourier-Transformation auf L2[Bearbeiten]

Die Fourier-Transformation kann auf dem Schwartz-Raum \mathcal{S}(\R^n) durch den Integraloperator

I_{-tx}(f)(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\mathrm{i} t x} f(x) \,\mathrm{d} x

definiert werden. Mittels eines Dichtheitsargument kann man diesen Operator auf L^2 fortsetzen, jedoch konvergiert das Fourier-Integral nicht für jede L^2-Funktion. Der Operator muss also anders dargestellt werden.

Raum der Symbolklassen[Bearbeiten]

Mit \mathcal{D}' wird der Raum der Distributionen bezeichnet. Sei \phi eine Phasenfunktion und sei 0 < \rho \leq 1, 0 \leq \delta < 1. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Abbildung

I_\phi : S^\infty_{\rho,\delta}(X \times \R^n) = \bigcup_{m \in \R} S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n) \to \mathcal{D}'(X)

zu definieren, so dass für a \in S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n),\ m < - n das Integral

I_\phi(a)(x) = \int_{\R^n} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi

existiert und die Abbildung I_\phi : S^\infty_{\rho,\delta}(X \times \R^n) \to \mathcal{D}'(X) stetig ist.

Definition[Bearbeiten]

Die beiden oben erwähnten Fortsetzungssätze zeigen, dass es wünschenswert ist, einen Integralbegriff zu haben, so dass man auch die Fortsetzungen in der Integralschreibweise ausdrücken kann. Dafür kann das im Folgenden definierte oszillierende Integral verwendet werden.

Oszillierendes Integral[Bearbeiten]

Sei \chi \in C^{\infty}_c(\R^n) eine Abschneidefunktion mit \chi(\xi) = 1 für |\xi| \leq 1 und \chi(\xi) = 0 für |\xi| \geq 2. Außerdem sei \phi \colon \R^n \times \R^N \to \R eine Phasenfunktion und a \in S^m(\R^n \times \R^N) eine Symbolklasse. Nun setzt man

I_\phi(a)(x) := \int_{\R^N} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi := \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi\,

wobei der Grenzwert im Sinne von Distributionen zu verstehen ist. Das heißt der Grenzwert ist durch

\langle I_\phi(a), u \rangle = \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \int_{\R^n} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(x)\mathrm{d}x \mathrm{d}\xi

für alle Testfunktionen u \in \mathcal{D}(\R^n) \cong C_c^\infty(\R^n) erklärt. Der Integralausdruck I_\phi heißt oszillierendes Integral.

Oszillierender Integraloperator[Bearbeiten]

Sei \phi \colon \R^n \times \R^N \to \Rwieder eine Phasenfunktion und a \in S^m(\R^n \times \R^N) eine Symbolklasse. Die Abbildung

u \mapsto T_\lambda(u)(x) := I_\phi(au)(x) = \int_{\R^N} e^{i \lambda \phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi

ist ein oszillierender Integraloperator.

Beschränktheit auf L2[Bearbeiten]

Lars Hörmander zeigte, dass oszillierende Integraloperatoren unter gewissen Voraussetzungen beschränkte Operatoren auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen L^2(\R^n) sind.[1]

Sei \phi eine Phasenfunktion und die Symbolklasse a \colon \R^n \times \R^N \to \R sei eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann existiert eine Konstante C, so dass

\|T_\lambda (u)\|_{L^2(\R^n)} \leq C \lambda^{-\frac{n}{2}} \|u\|_{L^2(\R^n)}

gilt,[2] was bedeutet, dass der lineare Operator T_\lambda auf L^2 beschränkt, also stetig, ist. Außerdem folgt aus dem Satz von Banach-Steinhaus, dass die Familie (T_\lambda)_\lambda von Operatoren gleichmäßig beschränkt ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Fourier-Transformation[Bearbeiten]

Hauptartikel: Fourier-Transformation

Sei a \colon \R^n \times \R^n \to \R eine glatte Funktion mit kompaktem Träger und mit a(0,0) = \tfrac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} und sei \phi(x,\xi) = -\langle x, \xi \rangle die Phasenfunktion. Durch Reskalieren kann man den oszillierenden Integraloperator

T_\lambda(u)(x) = I_\phi(au)(x) = \int_{\R^n} e^{- i \lambda \langle x, \xi \rangle} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi

in

\tilde{T}_\lambda(u)(x) = \int_{\R^n} e^{-i\langle x, \xi \rangle} a\left(\frac{x}{\sqrt{\lambda}},\frac{\xi}{\sqrt{\lambda}}\right) u(\xi) \mathrm{d}\xi

transformieren. Diese Familie von Operatoren ist gleichmäßig beschränkt auf L^2 und für \lambda \to \infty erhält man die Fourier-Transformation

\tilde{T}_\infty(au) = \mathcal{F}(u)(\xi) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\mathrm{i} x \xi} \phi(x) \,\mathrm{d} x\,.

Pseudodifferentialoperator[Bearbeiten]

Hauptartikel: Pseudodifferentialoperator

Mit Hilfe des oszillierenden Integrals definiert man einen speziellen stetigen und linearen Operator

T \colon \mathcal{S}(\R^n) \to \mathcal{S}(\R^n)

auf den Schwartz-Raum, welcher durch

\begin{align}T(u)(x) = I_{\langle x,\xi\rangle}(a\, \mathcal{F}(u))(x) 
&= \int_{\R^n} e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathcal{F}(u)(\xi) \mathrm{d} \xi\\ 
&= \int_{\R^n}e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \int_{\R^n} e^{-i \langle y, \xi \rangle} u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi \\
&= \int_{\R^n} \int_{\R^n} e^{i\langle x - y ,\xi\rangle} a(x,\xi) u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi
\end{align}

gegeben ist. Die Funktion a \in S^m(\R^n \times \R^n) ist eine Symbolfunktion und der Operator T heißt Pseudodifferentialoperator. Es ist eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators. Der Integralkern dieses Operators lautet

K(x,y) := \int_{\R^n} e^{i\langle x-y,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathrm{d} \xi

und ist ein typischer Schwartz-Kern.

Literatur[Bearbeiten]

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
  • Elias M. Stein: Harmonic Analysis. Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, Princeton NJ 1993, ISBN 0-691-03216-5 (Princeton mathematical Series 43 = Monographs in harmonic Analysis 3).
  • Alain Grigis, Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1994, ISBN 0-521-44986-3 (London Mathematical Society lecture note series 196).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. L. Hörmander Fourier integral operators, Acta Math. 127 (1971), 79–183. doi 10.1007/BF02392052, http://www.springerlink.com/content/t202410l4v37r13m/fulltext.pdf
  2. Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5, S. 377.