Padé-Approximation

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Die Padé-Approximation bezeichnet in der Mathematik die beste Approximation einer Funktion durch rationale Funktionen.

Die Padé-Approximation ist benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Padé, der sie 1892 bekannt machte,[1] wobei allerdings der deutsche Mathematiker Georg Frobenius bereits 1881 seine diesbezüglichen Untersuchungen über die rationale Approximation von Potenzreihen veröffentlichte.[2][3]

Die Padé-Approximation führt oft zu besseren Ergebnissen als die Approximation mittels Taylorreihen. Manchmal erhält man auch dann Approximationen, wenn die Taylorreihe nicht konvergiert. Daher wird sie häufig in Computerberechnungen verwendet. Auch im Gebiet der Diophantischen Approximation ist sie nützlich.

Definition[Bearbeiten]

Sei f eine Funktion und m ≥ 0, n ≥ 1 natürliche Zahlen, dann ist die Padé-Approximation der Ordnung [m/n] die rationale Funktion

R(x)= \frac{\sum_{j=0}^{m}a_j x^j}{1+\sum_{k=1}^{n}b_k x^k}=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m}{1+b_1 x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n},

welche mit f(x) in der höchstmöglichen Ordnung übereinstimmt, woraus folgt:

\begin{array}{rcl}
        f(0)&=&R(0)\\
       f'(0)&=&R'(0)\\
      f''(0)&=&R''(0)\\
            &\vdots& \\
f^{(m+n)}(0)&=&R^{(m+n)}(0)\end{array}.

Eine äquivalente Definition lautet: Entwickelt man R(x) in eine Maclaurinsche Reihe, d. h. in eine Taylorreihe um den Punkt 0, dann stimmen die ersten m + n Terme von R(x) und f(x) überein. Daraus folgt für den Approximationsfehler

f(x)-R(x) = c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots

Für jedes vorgegebene m und n ist die Padé-Approximation eindeutig, d. h. die Koeffizienten a_0, a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n sind eindeutig.

Im Nenner von R(x) wurde der Anfangsterm ohne Beschränkung der Allgemeinheit b_0 = 1 gewählt. Andernfalls erhält man durch geeignetes Kürzen die genannte Form.

Die Padé-Approximation wird auch dargestellt als

[m/n]_f(x). \,

Berechnung[Bearbeiten]

Zu einem gegebenen x kann man die Padé-Approximation nach dem sogenannten "Epsilon-Verfahren" des belgischen Mathematikers Peter Wynn berechnen.[4] Auch kann man Folgentransformation[5] der Teilsummen

T_N(x)=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_N x^N

der Taylorreihe von f ermitteln, nämlich

c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}.

Bei der Funktion f kann es sich auch um eine formale Potenzreihe handeln, so dass Padé-Approximationen auch auf die Summierung divergenter Reihen angewandt werden können.

Zur Berechnung der Padé-Approximation kann man den erweiterten euklidischen Algorithmus für den größten gemeinsamen Polynomteiler anwenden.[6] Die Beziehung

R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x) \text{ mod }x^{m+n+1}

ist äquivalent zur Existenz eines Faktors K(x) derart, dass

P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1}.

Dies lässt sich als die Bézout-Gleichung eines Schrittes der Berechnung des größten gemeinsamen Polynomteilers interpretieren:

T_{m+n}(x) and x^{m+n+1}.

Für die [m/n] Approximation wendet man den erweiterten euklidischen Algorithmus an für

r_0=x^{m+n+1},\;r_1=T_{m+n}(x)

und stoppt, wenn v_k ist vom Grade kleiner gleich n. Dann stellen die Polynome P=r_k,\;Q=v_k die [m/n] Padé-Approximation dar.

Riemann–Padé Zeta-Funktion[Bearbeiten]

Zur Untersuchung von divergenten Reihen, etwa

 \sum_{z=1}^{\infty}f(z)

kann es hilfreich sein, die Padé oder rationale Zeta-Funktion einzuführen:

 \zeta _{R}(s) = \sum_{z=1}^{\infty} \frac{R(z)}{z^{s}},

wobei

 R(x) = [m/n]_{f}(x)\,

die Padé-Approximation der Ordnung (m, n) der Funktion f(x) ist. Der Wert für s = 0 ist die Summe der divergenten Reihen. Die Funktionsgleichung für diese Zeta-Funktion lautet:

 \sum_{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)= \sum_{j=0}^{m}b_{j}\zeta_{0}(s-j),

wobei aj und bj die Koeffizienten der Padé-Approximation sind. Der Index '0' steht für die Padé-Approximation der Ordnung [0/0] und ergibt so die Riemannsche ζ-Funktion.

DLog-Padé Methode[Bearbeiten]

Mit Padé-Approximationen können kritische Punkte und Exponenten einer Funktion ermittelt werden. In der Thermodynamik heißt x = r kritischer Punkt und p der zugehörige kritische Exponent von f, wenn sich die Funktion f(x) in der Nähe eines Punktes x = r wie f(x)\sim \left|x-r\right|^{p} nicht-analytisch verhält. Sind hinreichend viele Terme der Reihenentwicklung von f bekannt, dann ergeben sich näherungsweise die kritischen Punkte und die kritischen Exponenten aus den Polen und Residuen der Padé-Approximationen \left[n/n+1\right]_{g}\left(x\right) mit g=\frac{f'}{f}.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Eine Padé-Approximation approximiert eine Funktion in einer Variable. Eine Approximation in zwei Variablen heißt Chisholm-Approximation, in mehr als zwei Variablen Canterbury-Approximation (benannt nach Graves-Morris an der University of Kent).

Literatur[Bearbeiten]

  • Baker, G. A., Jr.; und Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Brezinski, C.; und Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, Seite 1–62.
  • Wynn, P. (1966): Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik 8 (3), Seite 264–269,

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Henri Padé: Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationalles, 1892, Annales Scientifiques de l'Êcole Normale Supérieure, Volume 9 supplement, Seite 1-93
  2. Georg Frobenius: Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1881, Volume 90, Seite 1-17 Online, abgerufen am 3. Juni 2014
  3. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill Book Company, 1966, Library of Congress Catalog Card Number 65-25916, ISBN 007-010757-2, Seite 231
  4. Theorem 1 in Wynn, Peter (März 1966), "On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm", SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 3 (1): Seite 91–122
  5. Brezenski, C. (1996): Extrapolation algorithms and Padé approximations, Applied Numerical Mathematics Volume 20 (3), Seite 299–318
  6. Problem 5.2b und Algorithmus 5.2 (Seite 46) in Bini, Dario; Pan, Victor (1994): Polynomial and Matrix computations - Volume 1. Fundamental Algorithms, Progress in Theoretical Computer Science, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3786-9