Papyrus Rhind

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Fragment des Papyrus Rhind, pBM 10057
Einige Zeilen im Manuskript, 48. Problem

Der Papyrus Rhind ist eine altägyptische, auf Papyrus verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute als Arithmetik, Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung bezeichnen. Er gilt neben dem etwas älteren, aber weniger umfangreichen Papyrus Moskau 4676 als eine der wichtigsten Quellen für unser Wissen über die Mathematik im Alten Ägypten und wird auf etwa 1550 v. Chr. datiert.

Entdeckung[Bearbeiten]

Der Papyrus ist benannt nach dem schottischen Anwalt und Antiquar Alexander Henry Rhind, der ihn 1858 in Luxor, Oberägypten erwarb. Die Schriftstücke wurden wohl wenig zuvor bei illegalen Grabungen auf dem gegenüber von Luxor westlich des Nils liegenden Gebiet Thebens in oder nahe dem Ramesseum gefunden, genauere Umstände sind nicht bekannt.

Details[Bearbeiten]

Der Papyrus Rhind wurde im 16. Jahrhundert v. Chr. während der Zweiten Zwischenzeit angefertigt – einleitend wird das 33. Regierungsjahr des Apopi, eines Königs der 15. Dynastie der Hyksos, als Datum angegeben – und wird in wesentlichen Teilen als die Kopie eines über zwei Jahrhunderte älteren Papyrus angesehen, welcher wahrscheinlich aus der Regierungszeit des Amenemhet III. der 12. Dynastie im Mittleren Reich stammte. Der Kopist, ein Schreiber namens Ahmose (nach einer früheren Transkription auch Ahmes), gebrauchte die hieratische Schrift und hob einige Werte und aufgeführte Verfahren mit roter anstelle von schwarzer Tinte hervor, beispielsweise Sätze von Teilern. Heute liegt der Papyrus Rhind in Form von Fragmenten einer über 5  Meter langen und etwa 32 cm breiten Schriftrolle vor, die auf beiden Seiten beschrieben ist, und gibt verschiedene mathematische Probleme mit beispielhaften Lösungen wieder, insgesamt sind es je nach Zählweise 84 oder 87 Aufgaben. Der Text konnte erst am Ende des 19. Jahrhunderts n. Chr. entziffert und übersetzt werden, seine mathematischen Aussagen werden seit Anfang des 20. Jahrhunderts entschlüsselt und erschlossen.

Inhaltlich lässt sich das Manuskript in drei Abteilungen gliedern. Eine längere Tabelle, die für alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 den Bruch 2/n als eine Summe von Stammbrüchen darstellt, findet sich im ersten Teil, der 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt. Der zweite Teil stellt 20 geometrische Probleme vor und behandelt Rauminhalte und Flächeninhalte unterschiedlicher Figuren sowie das Verhältnis von Höhe zu Seite des Körpers einer Pyramide als deren Neigung. Zwei Dutzend weitere Probleme bilden den dritten Teil, neben Berechnungen bezogen auf die Herstellung von Brot und Bier wie auch auf die Fütterung von Geflügel und Rindern wird hier unter anderem eine Rätselaufgabe zu Katzen und Mäusen wiedergegeben.

Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises[Bearbeiten]

Ein Kreis in einem Quadrat, das durch ein Gitter zerlegt wird.
Der Kreisdurchmesser ist so lang wie eine Seite des umfassenden Quadrates – beträgt er 9, hat ein kleines Quadrat die Seitenlänge 3.

In der 48. Aufgabenstellung beschreibt Ahmes, wie er die Fläche eines Kreises berechnet, der einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 9 Einheiten eingeschrieben ist. Aus heutiger Sicht lässt sich dies als Angabe einer Näherung der Kreiszahl \pi auffassen.

Dazu dreiteilt Ahmes zunächst die Seiten des Quadrats und gewinnt damit neun gleiche kleinere Quadrate mit der Seitenlänge von 3 Einheiten. Dann schneidet er von den vier Eckzellen jeweils die Hälfte weg und kommt darüber zu der Figur eines unregelmäßigen Achtecks. Dieses Achteck setzt sich aus fünf vollen und vier halben zu der Gesamtfläche von 7 der kleinen Quadrate mit je 32 = 9 Flächeneinheiten zusammen und besitzt so den Flächeninhalt von 7•9 = 63 Quadrateinheiten. Es ist offensichtlich nur etwas kleiner als der Kreis – für dessen Fläche nimmt Ahmes daher den Inhalt von 64 = 8•8 Quadrateinheiten an, was nicht kleiner ist.

Somit wird die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser 9 gleich der Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge 8 gesetzt. Daraus ergibt sich näherungsweise für den Inhalt A_K der Kreisfläche mit dem Halbmesser r von 9/2

über  A_K = r^2 \cdot \pi
also  (9/2)^2 \cdot \pi \approx 8^2 und damit annähernd  \pi \approx \frac{8^2}{(9/2)^2} = \left(\frac{16}{9}\right)^2 \approx 3{,}160494..

Der so ermittelte Wert verfehlt die Zahl \pi absolut um etwa 0,01890 und relativ um weniger als ein Prozent. Im altägyptischen Zahlensystem wird dieser Wert nicht dezimal dargestellt, sondern als eine Summe von Stammbrüchen:

 \left(\frac{16}{9}\right)^2 = \frac{256}{81} = 3 + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} \approx \pi

Mit dem im Papyrus Rhind wiedergegebenen Verfahren kann die Kreiszahl \pi also aus dem Verhältnis der Flächeninhalte eines eingeschriebenen Kreises und seines umschreibenden Quadrates errechnet werden,

da  A_Q = r^2 \cdot 4 also denn \frac{A_K}{A_Q} = \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4} und somit \pi=4\cdot \frac{A_K}{A_Q}\approx 4\cdot \frac{64}{81}

Der einem Quadrat mit 81 Flächeneinheiten eingeschriebene Kreis umfängt tatsächlich etwa 63,617 Flächeneinheiten. In Approximation wird hier durch die von Ahmes aufgeschriebene Methode ein Kreis auf ein Quadrat von 9•9 bezogen, über eine achteckige Figur vermittelt und seine Fläche einem Quadrat von 8•8 gleichgesetzt – was wohl als früher Versuch einer Quadratur des Kreises angesehen werden kann.

Aufbewahrungsort[Bearbeiten]

Der Papyrus Rhind oder Rhind Mathematical Papyrus (RMP) befindet sich seit 1865 im Besitz des Britischen Museums in London unter den Inventarnummern pBM 10057 und pBM 10058, abgesehen von einigen kleineren Fragmenten, die damals nicht von Rhind erworben wurden und heute im Brooklyn Museum in New York aufbewahrt werden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Ausgaben[Bearbeiten]

  • August Eisenlohr: Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum) (2 Bände), J. C. Hinrichs, Leipzig 1877 online.
  • Thomas Eric Peet: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058, Hodder & Stoughton für The University Press of Liverpool, London 1923.
  • Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace und Ludlow Bull, The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 and 10058 (2 Bände), Mathematical Association of America, Oberlin [OH], 1927/1929. (Verkürzte Neuauflage: National Council of Teachers of Mathematics, Reston [OH] 1979, ISBN 0-87353-133-7).
  • Gay Robins und Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus. An Ancient Egyptian Text. British Museum, London 1987, ISBN 0-7141-0944-4 (Fotos des Papyrus).

Literatur[Bearbeiten]

  • Marshall Clagett: Ancient Egyptian Science: A Source Book. In: Memoirs of the American Philosophical Society 232, Vol. 3: Ancient Egyptian Mathematics. American Philosophical Society, Philadelphia 1999, ISBN 0-87169-232-5.
  • Annette Imhausen: Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten. Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9.
  • Dominic Olivastro: Der Zugang zu allen dunklen Geheimnissen. In: Das chinesische Dreieck. Droemer Knaur, München 1995, ISBN 3-426-26546-X. S. 43–72.
  • Franz von Krbek: Eingefangenes Unendlich. 2. Auflage, Geest & Portig, Leipzig 1952, S. 79 ff.
  • Milo Gardner: An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution. In: Ganita Bharati: Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics. Vol 28, 2006, MD Publications, New Delhi, S. 157–173.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Papyrus Rhind – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien