Parabel (Mathematik)

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Die Parabel ist einer der Kegelschnitte.
Ein hüpfender Ball beschreibt – wenn man Reibungsverluste vernachlässigt – Parabelbögen.
Wasserstrahlen beschreiben ebenfalls Parabeln, wenn man die Reibung vernachlässigt.

In der Mathematik ist eine Parabel (von lat. parabola zu altgriechisch παραβολή parabolē ,Nebeneinanderstellung, Vergleichung, Gleichnis‘; zurückzuführen auf παρά pará ‚neben‘ und βάλλειν bállein ‚werfen‘)[1] eine Kurve zweiter Ordnung. Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten: Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. Eine Parabel kann daher als Ellipse angesehen werden, bei der einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen liegt.

Die Parabel wurde von Menaichmos entdeckt und von Apollonios von Perge benannt.

Obwohl die Parabel ein Sonderfall unter den Kegelschnitten ist, spielt sie doch im täglichen Leben eine große Rolle: Parabol-Antennen und Parabol-Spiegel haben große technische Bedeutung. Dies beruht auf der geometrischen Eigenschaft der Parabel, parallel zu ihrer Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt zu sammeln (siehe weiter unten). Ein schräg nach oben geworfener Stein bewegt sich näherungsweise auf einer parabelförmigen Bahn, der Wurfparabel (s. hüpfender Ball, Springbrunnen). In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht ein schwereloser Zustand. Solche Parabelflüge werden zum Training von Astronauten verwendet. Parabeln werden in der Mathematik häufig zur Approximation komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: y=mx+b) die einfachsten gekrümmten Graphen (Gleichung: y=ax^2+bx+c) besitzen und sich besser als Geraden an einen Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich (Computer Aided Design) treten Parabeln als Bézierkurven auf. Ein großer Vorteil der Parabeln (im Gegensatz zu Kreis, Ellipse und Hyperbel) ist die Möglichkeit, sie mit Hilfe von Polynomen (2. Grades) beschreiben zu können.

Definition mit Leitlinie[Bearbeiten]

Parabel: Definition mit Brennpunkt und Leitlinie, Halbparameter p

Eine Parabel kann geometrisch als Ortslinie beschrieben werden:

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte P, deren Abstand d(P,F) zu einem speziellen festen Punkt – dem Brennpunkt F – gleich dem Abstand d(P,l) zu einer speziellen Geraden – der Leitlinie l – ist.

Als Punktmenge notiert:

\{P \mid d(P,F) = d(P,l)\}

Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel oder Scheitelpunkt S der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird auch Achse der Parabel genannt. Sie ist die einzige Symmetrieachse der Parabel.

Führt man Koordinaten so ein, dass F=(0,f)\ ,f>0\ , ist und die Leitlinie die Gleichung y=-f besitzt, so ergibt sich für P=(x,y) aus d(P,F) = d(P,l) die Gleichung

y=\tfrac{1}{4f}x^2

einer nach oben geöffneten Parabel.

Die halbe Weite p der Parabel in der Höhe des Brennpunktes ergibt sich aus y=f=\tfrac{1}{4f}x^2 zu p=2f und heißt (analog zu Ellipse und Hyperbel) der Halbparameter der Parabel. Der Halbparameter p ist wie bei Ellipse (im Hauptscheitel) und Hyperbel der Scheitelkrümmungskreisradius, also der Radius des Krümmungskreises an den Scheitelpunkt. Bei einer Parabel ist p außerdem der Abstand des Brennpunktes zur Leitlinie. Die Gleichung der Parabel lässt sich damit auch in der folgenden Form schreiben:

 x^2=2py.

Vertauscht man x und y, so erhält man mit

 y^2=2px

die Gleichung einer nach rechts geöffneten Parabeln.

Parabel als Funktions-Graph[Bearbeiten]

Parabeln y=ax^2

Eine beliebige Parabel mit Scheitel im Nullpunkt (0,0) der y-Achse als Achse und nach oben oder unten geöffnet wird (in kartesischen Koordinaten) durch eine Gleichung

y = a x^2 \text{ mit } a \ne 0.

beschrieben. Ihr

Brennpunkt ist  (0,\tfrac{1}{4a}) , der
Halbparameter p=\tfrac{1}{2a}, die
Leitlinie hat die Gleichung y=-\tfrac{1}{4a} \ und die
Tangente im Punkt (x_0,ax^2_0) hat die Gleichung :\ y=2ax_0x-ax^2_0 \ .

Für a=1 erhält man die Normalparabel: \quad y=x^2\ ..
Ihr Brennpunkt ist  (0,\tfrac{1}{4}) , der Halbparameter p=\tfrac{1}{2} und die Leitlinie hat die Gleichung y=-\tfrac{1}{4} \ .

Für a<0 sind die Parabeln nach unten geöffnet (s. Bild).

Nach einer Verschiebung (x,y)\to (x+x_0,y+y_0) erhält man die Scheitelform einer beliebigen nach oben oder unten geöffneten Parabel:

y=a(x-x_0)^2 + y_0 \ ,\ a\ne 0\ , mit dem Scheitel S=(x_0,y_0)\ .

Durch Ausmultiplizieren ergibt sich die allgemeine Gleichung einer nach unten oder oben geöffneten Parabel:

y = ax^2 + bx + c \text{ mit } a,b,c \in \R, a \ne 0 \ .

Sie ist der Graph der quadratischen Funktion

f(x) = ax^2 + bx + c.

Ist die Funktion f(x) = ax^2 + bx + c gegeben, so findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung:

S=(x_0,y_0)=(-\tfrac{b}{2a},c-\tfrac{b^2}{4a}) \ .

Parabel als Sonderfall der Kegelschnitte[Bearbeiten]

Kegelschnitt-Schar

Die Schar der Kegelschnitte, deren Achse die x-Achse ist und die einen Scheitelpunkt im Ursprung (0,0) haben, lässt sich durch die Gleichung

 y^2= 2px +(\varepsilon^2 -1) x^2  \qquad, \ \varepsilon\ge 0

beschreiben.

  • Für \varepsilon=0 erhält man einen Kreis,
  • für  0<\varepsilon <1 eine Ellipse,
  • für \varepsilon=1 eine Parabel und
  • für \varepsilon>1 eine Hyperbel (s. Bild).

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet

a x^2 + bx y + c y^2 + dx + e y + f = 0 \quad, a,b,c nicht alle 0.

Um zu erkennen, welcher Kegelschnitt durch eine konkrete Gleichung beschrieben wird, muss man eine Hauptachsentransformation (Drehung und anschließende Verschiebung des Koordinatensystems) durchführen. Siehe hierzu Kegelschnitt.

Parabel als Kegelschnitt[Bearbeiten]

Dandelin-Kugel: Parabel-Fall (Grund- und Aufriss)

Schneidet man einen senkrechten Kreiskegel mit einer Ebene \pi, deren Neigung gleich der Neigung der Mantellinien des Kegels ist, so ergibt sich eine Parabel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. Brennpunkt und Leitlinie (s. oben) führt man mit Hilfe einer Dandelin'schen Kugel, d. i. eine Kugel, die den Kegel in einem Kreis c und die Parabel-Ebene in einem Punkt F berührt. Es stellt sich heraus, dass F der Brennpunkt der Schnittparabel und die Schnittgerade der Ebene des Berührkreises c mit der Ebene \pi die Leitlinie l ist.

  1. P sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
  2. Die Strecken \overline{PF} und \overline{PA} sind tangential zur Kugel und damit gleich lang.
  3. Die Ebenen durch die Mantellinie m_0 schneiden die Parabelebene in einer Schar paralleler Geraden, die senkrecht zur Geraden l sind (m_0 \parallel \pi !).
  4. Anwendung des Strahlensatzes auf die sich in A schneidenden Geraden ZP, BD und die parallelen Strecken \overline{BP}, \overline{ZD} liefert die Gleichheit der Länge der Strecken \overline{PA}, \overline{PB}. (Man beachte: \overline{ZA}, \overline{ZD} sind gleich lang!).
  5. Aus der Gleichheit der Länge der Strecken \overline{PF} und \overline{PA} folgt schließlich
|PF|=|Pl|.

Steiner-Erzeugung einer Parabel[Bearbeiten]

Parabel: Steiner-Erzeugung

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Parabel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten U,\, V (alle Geraden durch den Punkt U bzw. V) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung \pi des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten Kegelschnitt.[2][3]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Parabel y=ax^2 gehen wir von dem Geradenbüschel im Scheitel S und dem Parallelbüschel \Pi_y der Parallelen zur y-Achse aus (d. i. das Geradenbüschel des Fernpunktes der y-Achse). Seien nun P=(x_0,y_0) ein Punkt der Parabel und A=(0,y_0), B=(x_0,0). Wir unterteilen die Strecke \overline{BP} in n gleich lange Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung AB auf die Strecke \overline{AP} (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung des Büschels in S und des Parallelbüschels \Pi_y. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden SB_i und der i-ten Parallele zur y-Achse liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Parabel (s. Bild).

Der Beweis ergibt sich durch eine einfache Rechnung. Siehe auch: projektiver Kegelschnitt.

Bemerkung: Die linke Hälfte der Parabel erhält man durch Spiegelung an der y-Achse.

Bemerkung:

  1. Auch für Ellipsen und Hyperbeln gibt es die Steiner-Erzeugung.
  2. Statt des Scheitels der Parabel und der Scheiteltangente kann man auch einen beliebigen Punkt und seine Tangente benutzen.

Parabel als affines Bild der Normalparabel[Bearbeiten]

Parabel als affines Bild der Normalparabel

Eine andere Definition der Parabel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist eine Parabel als affines Bild der Normalparabel y=x^2 definiert. Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form \vec x \to \vec f_0+A\vec x, wobei A eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und \vec f_0 ein beliebiger Vektor ist. Sind \vec f_1, \vec f_2 die Spaltenvektoren der Matrix A, so wird die Normalparabel (t,t^2), t \in \R, auf die Parabel

\vec x=\vec p(t) = \vec f_0 +\vec f_1 t +\vec f_2 t^2

abgebildet. \vec f_0 ist ein Punkt der Parabel und \vec f_1 Tangentenvektor in diesem Punkt. \vec f_1, \vec f_2 stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h. \vec f_0 ist i. A. nicht der Scheitel der Parabel. Aber: Die Parabelachse (Symmetrieachse durch den Scheitel) ist parallel zu \vec f_2. Diese Definition einer Parabel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Parabel.

Da im Scheitel die Tangente zur Parabelachse senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Parabelpunkt \vec p'(t) = \vec f_1  +2t\vec f_2 ist, ergibt sich der Parameter t_0 des Scheitels aus der Gleichung

\vec p'(t)\cdot \vec f_2 = \vec f_1\cdot \vec f_2  +2t\vec f_2^{\,2} =0 zu  t_0= -\tfrac{\vec f_1\cdot \vec f_2}{2\vec f_2^{\,2}}.

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Parabel ist

\vec x=\vec p(t) = \vec p(t_0) +\vec p'(t_0)(t-t_0) +\vec f_2 (t-t_0)^2.
Beispiele
  1. \vec f_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix} liefert die übliche Parameterdarstellung der Parabel y=ax^2: \quad (t,at^2).
    Parabel: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)
  2. \vec f_0=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi\end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} -a\sin \varphi \\ a \cos \varphi\end{pmatrix} liefert die Parameterdarstellung der Parabel, die aus y=ax^2 durch Drehung um den Winkel \varphi und anschließende Verschiebung um \vec f_0 hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform: Der Scheitel ist (x_0,y_0) \ .
  3.  \vec f_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} liefert die Parabel \vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}t^2 \ .
Die Parameterdarstellung ist nicht in Scheitelform. Der Scheitelparameter ist t_0=-\tfrac{1}{2\cdot2}=-\tfrac{1}{4} und die Scheitelform:
\vec x=\vec p(t)=\tfrac{1}{16}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}
                        +\tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}(t+\tfrac{1}{4})
                        +\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}(t+\tfrac{1}{4})^2.

Bemerkung: Sind die Vektoren \vec f_0, \vec f_1, \vec f_2 aus dem \R^3, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Parabel im Raum.

Affine Selbstabbildungen der Parabel y=x²[Bearbeiten]

Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Normparabel y=x^2 auf eine andere Parabel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Parabel y=x^2 als Ganzes invariant:

  • (x,y) \rightarrow (ax + b, a^2y + 2abx + b^2), a \ne 0 \ .

Dies sind die einzigen affinen Abbildungen, die die Parabel y=x^2 invariant lassen.

Zum Beweis: Setze y=x^2 und wende die 1. binomische Formel an.

Spezialfälle:

  1. Für a=1,\, b=0 bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
  2. Für a=1,\, b\ne 0 wird jeder Punkt der Parabel bewegt, d. h. es gibt keinen Fixpunkt auf der Parabel.
  3. Für a=-1 ist die Abbildung involutorisch, d. h. zweimal ausgeführt ist sie die Identität. Man nennt solch eine Abbildung Schrägspiegelung, da eine Gerade, nämlich \textstyle x=\frac b 2, punktweise fest bleibt (siehe Abschnitt „Mittelpunkte paralleler Sehnen“). In diesem Fall gibt es genau einen Fixpunkt auf der Parabel: (\tfrac{b}{2},\tfrac{b^2}{4}). Nur im Fall b=0 ist eine Schrägspiegelung eine „normale“ Spiegelung an der y-Achse.

Bemerkung: Ergänzt man die reelle affine Ebene durch eine Ferngerade und deren Fernpunkte zu einer projektiven Ebene und fügt der Parabel y=x^2 den Fernpunkt der y-Achse hinzu, so erhält man einen nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitt und hat mehr Abbildungen, projektive Kollineationen, zur Verfügung. Z. B. lässt die projektive Kollineation mit

(x,y) \rightarrow (\textstyle \frac{x}{y},\tfrac{1}{y})

die so erweiterte Parabel invariant. Diese Abbildung ist involutorisch, lässt die Parabelpunkte (1,1),(-1,1) fix und vertauscht den Parabelpunkt (0,0) mit dem Fernpunkt der y-Achse.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Brennpunkt[Bearbeiten]

Parabel: Brennpunkt-Eigenschaft

Wird ein Strahl, der parallel zur Achse einfällt, an der Parabel – d. h. an ihrer Tangente – gespiegelt, so geht der gespiegelte Strahl durch den Brennpunkt. Dieser gespiegelte Strahl wird auch Brennlinie oder Brennstrahl des betreffenden Parabelpunktes genannt. Die entsprechende Eigenschaft hat auch ein Rotationsparaboloid, also die Fläche, die entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht; sie wird häufig in der Technik verwendet (siehe Parabolspiegel).

Um diese Eigenschaft einer Parabel nachzuweisen, gehen wir von einer Parabel der Form y=ax^2 aus. Dies ist keine Einschränkung, da jede Parabel in einem geeigneten Koordinatensystem so dargestellt werden kann. Die Tangente in einem Parabelpunkt P=(x_0,ax^2_0) hat die Gleichung y=2ax_0(x-x_0)+ax^2_0 (Die Steigung der Tangente ergibt sich aus der Ableitung y'=2ax.) Die Tangente schneidet die y-Achse im Punkt T=(0,-ax^2_0). Der Brennpunkt ist F=(0,f),\ f=\tfrac{1}{4a}. Der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die Leitlinie l ist L=(x_0,-f). Für eine Parabel ist  |PF|=|PL|. Aus dem Bild erkennt man, dass |FT|=|PL| ist. Damit ist das Viereck PFTL eine Raute und die Tangente ist eine Diagonale dieser Raute und damit eine Winkelhalbierende. Hieraus folgt:

  • Der Brennstrahl PF ist die Spiegelung des einfallenden Strahls an der Tangente/Parabel.

Mittelpunkte paralleler Sehnen[Bearbeiten]

Parabel: Mittelpunkte paralleler Sehnen

Für jede Parabel gilt:

  • Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Gerade. Diese Gerade ist parallel zur Parabelachse.

D. h. zu jedem Punktepaar P,Q einer Sehne s gibt es eine Schrägspiegelung an einer Gerade m, die die Punkte P,Q vertauscht und die Parabel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Gerade m, bei der alle Strecken Punkt-Bildpunkt zwar parallel zueinander aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse m sind. Sind die Sehnen senkrecht zur Parabelachse, so ist die Gerade m die Parabelachse und die Schrägspiegelung eine gewöhnliche Spiegelung.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Normalparabel y=x^2 durch. Da alle Parabeln affine Bilder der Normalparabel sind (s.o.) und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Parabeln.

Punktkonstruktion[Bearbeiten]

Eine beliebige Parabel kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung y=ax^2 beschrieben werden.

Parabel: Punktkonstruktion, P1, P2, P3 -> P4

Eine weitere Möglichkeit Parabelpunkte zu konstruieren, setzt die Kenntnis von drei Parabelpunkten und der Richtung der Parabelachse voraus:

Für eine Parabel y=ax^2 gilt: Sind

  • P_1=(x_1,y_1),\, P_2=(x_2,y_2),\, P_3=(x_3,y_3),\, P_4=(x_4,y_4) vier Punkte der Parabel y=ax^2 und
  • Q_2 der Schnittpunkt der Sekante P_1P_4 mit der Geraden x=x_2 sowie
  • Q_1 der Schnittpunkt der Sekante P_2P_3 mit der Geraden x=x_1 (s. Bild),

dann ist die Sekante P_3P_4 parallel zur Geraden Q_1Q_2. x=x_1 und x=x_2 sind Parallelen zur Parabelachse.

Sind die drei Punkte P_1,\, P_2,\, P_3 einer Parabel gegeben, so kann durch Vorgabe einer Geraden durch P_3 (nicht parallel zur Parabelachse und keine Tangente) mit dieser Eigenschaft der Parabelpunkt P_4 auf dieser Geraden konstruiert werden.

Zum Beweis: Da nur Schneiden, Verbinden und Parallelität eine Rolle spielen, kann man den Beweis an der affin äquivalenten Normalparabel y=x^2 führen. Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Gerade Q_1Q_2 parallel zur Geraden P_3P_4 ist.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 5-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

Tangentenkonstruktion[Bearbeiten]

Parabel: Tangentenkonstruktion, P0,P1,P2 -> Tangente in P0
Parabel: Tangentenkonstruktion: P1,P2,Tang. in P1 -> Tang. in P2

Eine beliebige Parabel kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung y=ax^2 beschrieben werden.

1. Methode[Bearbeiten]

Für eine Parabel y=ax^2 gilt:

  • Sind P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2) drei Punkte der Parabel y=ax^2 und
Q_2 der Schnittpunkt der Sekante P_0P_1 mit der Gerade x=x_2, sowie
Q_1 der Schnittpunkt der Sekante P_0P_2 mit der Gerade x=x_1 (s. Bild),
dann ist die Tangente im Punkt P_0 parallel zur Gerade Q_1Q_2.
(x=x_1 und x=x_2 sind Parallelen zur Parabelachse.)

Diese Eigenschaft kann zur Konstruktion der Tangente im Punkt P_0 benutzt werden.

Zum Beweis: Da nur Schneiden, Verbinden und Parallelität eine Rolle spielt, kann man den Beweis an der affin äquivalenten Normalparabel y=x^2 führen. Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Gerade Q_1Q_2 die Steigung 2x_0 hat. Dies ist die Steigung der Tangente im Punkt P_0.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 4-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

2. Methode[Bearbeiten]

Eine zweite Möglichkeit, die Tangente in einem Punkt zu konstruieren, beruht auf der folgenden Eigenschaft einer Parabel y=ax^2:

  • Sind P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2) zwei Punkte der Parabel y=ax^2 und
Q_2 der Schnittpunkt der Tangente in P_1 mit der Gerade x=x_2, sowie
Q_1 der Schnittpunkt der Tangente in P_2 mit der Gerade x=x_1 (s. Bild),
dann ist die Sekante P_1P_2 parallel zur Gerade Q_1Q_2.
(x=x_1 und x=x_2 sind Parallelen zur Parabelachse.)

Zum Beweis: Da nur Schneiden, Verbinden und Parallelität eine Rolle spielen, kann man den Beweis an der affin äquivalenten Normalparabel y=x^2 führen.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

Achsenrichtung-Konstruktion[Bearbeiten]

Parabel: Achsenrichtung-Konstruktion

Bei der Punktkonstruktion und der Tangentenkonstruktion (s. o.) wird die Achsenrichtung der Parabel als bekannt vorausgesetzt. Die folgende Eigenschaft einer Parabel erlaubt, die Achsenrichtung aus der Kenntnis zweier Parabelpunkte und deren Tangenten zu konstruieren.

Eine beliebige Parabel kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung y=ax^2 beschrieben werden.

Für eine Parabel y=ax^2 gilt: Sind

  • P_1=(x_1,y_1),\, P_2=(x_2,y_2) zwei Punkte der Parabel,
  • t_1,\, t_2 die zugehörigen Tangenten,
  • Q_1 der Schnittpunkt der beiden Tangenten t_1,\, t_2,
  • Q_2 der Schnittpunkt der Parallele zu t_1 durch den Punkt P_2 mit der Parallele zu t_2 durch P_1 (s. Bild),

dann ist die Gerade Q_1Q_2 parallel zur Parabelachse und hat die Gleichung

x=\tfrac{x_1+x_2}{2a}\ .

Zum Beweis: Wie bei den vorigen Parabeleigenschaften kann man den Beweis für die Normalparabel y=x^2 durchrechnen.

Bemerkung: Die hier beschriebene Eigenschaft ist eine affine Version des Satzes über perspektive Dreiecke eines nicht ausgearteten Kegelschnitts.[4]

Pol-Polare-Beziehung[Bearbeiten]

Parabel: Pol-Polare-Beziehung

Eine Parabel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form y=ax^2 beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Parabelpunkt P_0=(x_0,y_0), y_0=ax^2_0 ist y=2ax_0(x-x_0) + y_0=2ax_0x -ax^2_0=2ax_0x-y_0. Lässt man im rechten Teil der Gleichung zu, dass P_0=(x_0,y_0) ein beliebiger Punkt der Ebene ist, so wird

dem Punkt P_0=(x_0,y_0) die Gerade y=2ax_0x - y_0 zugeordnet.

Und umgekehrt kann man

der Gerade y=mx+d den Punkt (\tfrac{m}{2a},-d) zuordnen.

Solch eine Zuordnung Punkt <-> Gerade nennt man eine Polarität oder Pol-Polar-Beziehung. Der Pol ist der Punkt, die Polare ist die zugehörige Gerade.

Die Bedeutung dieser Pol-Polare-Beziehung besteht darin, dass die möglichen Schnittpunkte der Polare eines Punktes mit der Parabel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Parabel sind.

  • Liegt der Punkt (Pol) auf der Parabel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild: P_1,\ p_1).
  • Liegt der Pol außerhalb der Parabel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Parabel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Parabel (s. Bild: P_2,\ p_2).
  • Liegt der Punkt innerhalb der Parabel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Parabel (s. Bild: P_3,\ p_3 und P_4,\ p_4).

Zum Beweis: Die Bestimmung der Schnittpunkte der Polaren eines Punktes (x_0,y_0) mit der Parabel y=ax^2 und die Suche nach Parabelpunkten, deren Tangenten den Punkt (x_0,y_0) enthalten, führen auf dieselbe quadratische Gleichung.

Bemerkung:

  1. Der Schnittpunkt zweier Polaren (z. B. im Bild: p_3,p_4) ist der Pol der Verbindungsgerade der zugehörigen Pole (hier: P_3,P_4).
  2. Brennpunkt und Leitlinie sind zueinander polar.
  3. Zur Parabelachse parallele Geraden haben keine Pole. Man sagt: „Ihre Pole liegen auf der Ferngeraden.“

Bemerkung: Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und Hyperbeln. Siehe auch projektiver Kegelschnitt.

Orthogonale Tangenten[Bearbeiten]

Parabel: zueinander orthogonale Tangenten

Eine Parabel besitzt folgende Eigenschaft:

  • Zueinander orthogonale Tangenten schneiden sich auf der Leitlinie.

Beweis: Eine Parabel lässt sich in geeigneten Koordinaten durch eine Gleichung y=ax^2, \ a\ne 0, beschreiben. Die Tangenten in zwei Parabelpunkten P_1=(x_1,ax^2_1), P_2=(x_2,ax^2_2) haben die Gleichungen

y=2ax_1x-ax^2_1, \quad y=2ax_2x-ax^2_2 \ .

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit x_2 und der zweiten Gleichung mit x_1 lässt sich x eliminieren. Man erhält zunächst y(x_2-x_1)=ax_1x_2(x_2-x_1). Hieraus ergibt sich

 (*) \ y=ax_1x_2 \ .

Für orthogonale Tangenten muss das Produkt ihrer Steigungen -1 sein, d. h. es ist  4a^2x_1x_2=-1. Damit folgt aus der Gleichung (*):

y=-\frac{1}{4a}\ .

Dies ist die Gleichung der Leitlinie (s.o.).

Parabeln der Form y=ax²+bx+c[Bearbeiten]

Peripheriewinkelsatz für Parabeln[Bearbeiten]

Parabeln der Form y=ax^2+bx+c sind Funktionsgraphen, die durch die 3 Parameter a,b,c eindeutig bestimmt sind. Man benötigt also 3 Punkte, um diese Parameter zu ermitteln. Eine schnelle Methode beruht auf dem Peripheriewinkelsatz für Parabeln.

Parabel: Peripheriewinkelsatz

Um einen Winkel zwischen zwei Sehnen zu messen führen wir für zwei Geraden, die nicht zur y-Achse parallel sind, ein Winkelmaß ein:

Für zwei Geraden y=m_1x+d_1, \ y=m_2x + d_2 \ messen wir den zu gehörigen Winkel mit der Zahl m_1-m_2.

Zwei Geraden sind parallel, wenn m_1=m_2 und damit das Winkelmaß =0 ist.

Analog zum Peripheriewinkelsatz für Kreise gilt hier der

Peripheriewinkelsatz: (f. Parabeln)

Für vier Punkte P_i=(x_i,y_i),\ i=1,2,3,4,\ x_i\ne x_k, i\ne k, (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen nur dann auf einer Parabel der Form y=ax^2+bx+c, wenn die Winkel bei P_3 und P_4 im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h. wenn:
\frac{(y_4-y_1)}{(x_4-x_1)}-\frac{(y_4-y_2)}{(x_4-x_2)}=\frac{(y_3-y_1)}{(x_3-x_1)}-\frac{(y_3-y_2)}{(x_3-x_2)} \ .

(Beweis durch Nachrechnen. Dabei kann man für die eine Richtung voraussetzen, dass die Punkte auf einer Parabel y=ax^2liegen.)

3-Punkte-Form einer Parabel[Bearbeiten]

Analog zur 2-Punkteform einer Gerade (Steigungswinkel werden mit der Steigung gemessen) folgt aus dem Peripheriewinkelsatz für Parabeln die

3-Punkte-Form: (f. Parabeln)

Die Gleichung der Parabel durch 3 Punkte P_i=(x_i,y_i),\ i=1,2,3,\ x_i\ne x_k, i\ne k, ergibt sich durch Auflösen der Gleichung
\frac{({\color{red}y}-y_1)}{({\color{green}x}-x_1)}-\frac{({\color{red}y}-y_2)}{({\color{green}x}-x_2)}=\frac{(y_3-y_1)}{(x_3-x_1)}-\frac{(y_3-y_2)}{(x_3-x_2)} \
nach y.

Parabel in Polarkoordinaten[Bearbeiten]

Eine Parabel, die in kartesischen Koordinaten durch y^2=4fx beschrieben ist, erfüllt in Polarkoordinaten die Gleichung

r(\varphi) = 4f \frac{\cos(\varphi)}{\sin^2(\varphi)} \quad \text{mit} \varphi \in \left[ -\tfrac{\pi}{2} , \tfrac{\pi}{2} \right] \setminus\{0\}.

Ihr Brennpunkt ist (f,0). Legt man den Koordinatenursprung in ihren Brennpunkt, gilt für sie die polare Gleichung

r(\varphi) = \frac{2f}{1-\cos(\varphi)}\text{ mit }\varphi \ne 2\pi k.

Graphische Multiplikation[Bearbeiten]

Graphische Multiplikation von 2 und 3 mithilfe einer Normalparabel

Eine Normalparabel ist eine „Multiplikationsmaschine“: Man kann mit ihr auf graphischem Wege das Produkt zweier Zahlen berechnen. Dazu zeichnet man zunächst die Normalparabel y = x^2 in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Die zu multiplizierenden Faktoren trägt man auf der x-Achse ab und bestimmt für jeden Wert einen Punkt auf der Parabel. Sind die Zahlen mit a und b bezeichnet, ergeben sich also zwei Punkte P(a|a^2) und Q(b|b^2). Die Gerade durch P und Q schneidet die y-Achse in einem Punkt, dessen y-Koordinate den Wert -a \cdot b hat. Im Grenzfall a=b ergibt sich die Gerade als Tangente an die Parabel.

Falls a und b gleiches Vorzeichen haben, ist es praktikabler, einen der Faktoren in negativer Richtung aufzutragen anstatt später das Vorzeichen des Ergebnisses umzudrehen, so geschehen im Beispiel mit den Werten a=3 und b=2. Hier trägt man die Faktoren als x-Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen in das Koordinatensystem ein, nämlich als P(-3|9) und Q(2|4). Verbindet man die Punkte durch eine Gerade, so erkennt man, dass der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse gleich 6=2·3 ist.

Parabel und Kettenlinie[Bearbeiten]

Approximation von cosh durch eine Parabel (rot)

Kettenlinien ähneln Parabeln, sind aber keine. Das Seil einer Hängebrücke, das durch sein Eigengewicht durchhängt, beschreibt eine Kettenlinie. Diese wird nicht durch eine quadratische Funktion, sondern durch den Kosinus Hyperbolicus beschrieben. Mathematisch drückt sich die Ähnlichkeit dadurch aus, dass der Kosinus Hyperbolicus sich in die Reihe

\cosh x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = {\color{red}1+ \frac{x^2}{2}} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + \dots

entwickeln lässt. Die ersten beiden Terme (rot) beschreiben eine Parabel und können als Approximation der cosh-Funktion für kleine x verwendet werden.

Parabeln als quadratische Bézierkurven[Bearbeiten]

Konstruktion einer quadratischen Bézierkurven

Eine quadratische Bézierkurve ist eine Kurve, deren Parameterdarstellung \vec c(t) durch drei Punkte P_0:\vec p_0, P_1:\vec p_1 und P_2:\vec p_2 bestimmt wird:

\begin{align}
      \vec c(t) \ & =\ \sum_{i=0}^2 \binom 2 i t^i (1-t)^{2-i} \vec p_i \\
           \ & =\ (1 - t)^{2}\vec p_0 + 2t(1 - t)\vec p_1 + t^{2}\vec p_2 \\
           \ & =\ (\vec p_0 - 2\vec p_1 + \vec p_2)t^{2} + (-2\vec p_0 + 2\vec p_1)t + \vec p_0 \text{ , } t \in [0,1]
\end{align}

Diese Kurve ist ein Parabelbogen (s. Abschnitt: Parabel als affines Bild der Normalparabel).

Parabeln und numerische Integration[Bearbeiten]

Simpson-Regel: Parabelbogen ersetzt Kurventeil

Bei der numerischen Integration nähert man den Wert eines bestimmten Integrals dadurch an, dass man den Graphen der zu integrierenden Funktion durch Parabelbögen annähert und integriert diese. Dies führt zur Simpson-Regel, siehe Bild.

\int_{a}^{b}f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6} \cdot \left( f(a)+4f \left( \frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right)

Die Güte der Approximation wird dadurch erhöht, dass man die Unterteilung vergrößert und den Graphen durch entsprechend viele Parabelbögen ersetzt und diese integriert.

Parabeln als ebene Schnitte von Quadriken[Bearbeiten]

Folgende Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) besitzen Parabeln als ebene Schnitte:

Laguerre-Ebene: Geometrie der Parabeln[Bearbeiten]

Eine Laguerre-Ebene ist im klassischen Fall eine Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen die Geometrie der Kurven y=ax^2+bx+c, das sind Parabeln und Geraden, in der reellen Anschauungsebene beschreibt. Als Verbindungskurven stehen hier nicht nur Geraden sondern auch Parabeln zur Verfügung. Z. B. gibt es in einer Laguerre-Ebene zu drei Punkten mit verschiedenen x-Koordinaten genau eine solche Verbindungskurve.

Parabel "höherer Ordnung"[Bearbeiten]

Unter einer Parabel der Ordnung n versteht man den Graph eines Polynoms y=ax^n+... (im Gegensatz zu den Graphen von e-Funktion oder Wurzelfunktion, …). Eine Parabel 3. Ordnung wird auch kubische Parabel genannt.

Also: nur im Fall n=2 ist eine Parabel höherer Ordnung eine gewöhnliche Parabel.

Neilsche Parabel[Bearbeiten]

Die Neilsche Parabel oder semikubische Parabel ist eine algebraische Kurve 3. Ordnung:

  • Kartesische Koordinatengleichung: y^2 - a^2 x^3 \, = \, 0 mit einem reellen Parameter a > 0
  • explizit: y = \pm a x^{\frac{3}{2}}\ .

Sie ist keine Parabel im üblichen Sinne.

Parabel y=x² über einem beliebigen Zahlkörper[Bearbeiten]

Betrachtet man in einer affinen Ebene über einem beliebigen (kommutativen) Körper K die Punktmenge, die der Parabelgleichung y=x^2 genügt, so bleiben viele Eigenschaften der reellen Normalparabel, die mit „schneiden“, „verbinden“ und „parallel“ formuliert werden und deren Beweise nur Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion verwenden, erhalten.[9] Z. B.:

  • Eine Gerade schneidet die Parabel y=x^2 in höchstens zwei Punkten.
  • Durch jeden Parabelpunkt (x_0,x_0^2) gibt es (neben der Geraden x=x_0) genau eine Gerade, die mit der Parabel nur den Punkt (x_0,x^2_0) gemeinsam hat, die Tangente: y=2x_0x-x^2_0. Eine Gerade ohne Schnittpunkt heißt Passante, eine mit zwei Schnittpunkten Sekante.

Unterschiede zum reellen Fall:

  1. Für K=\Q (rationale Zahlen) ist die Gerade y=2 eine Passante, denn die Gleichung x^2=2 hat in \Q keine Lösung.
  2. Für K=\C (komplexe Zahlen) gibt es keine Passanten. Z. B.: y=-1 schneidet die Parabel in den Punkten (i,-1),(-i,-1).
  3. Hat der Körper die Charakteristik 2 (d. h., es gilt 1+1=0), so gibt es unter den Geraden y=d keine Sekanten, da jede Gleichung x^2=d im Fall Charakteristik 2 höchstens eine Lösung hat (es gibt kein „\pm“). Die Tangente im Parabelpunkt (x_0,x^2_0) hat (bei Charakteristik 2) die Gleichung y=x^2_0. D. h. alle Tangenten sind parallel zur x-Achse !

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Parabeln – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Parabel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, Uni Darmstadt, S. 16.
  3. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2. Teil, S. 96.
  4. Erich Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Auf mathematik.tu-darmstadt.de. S. 36 (PDF; 757 kB).
  5. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 107.
  6. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 95.
  7. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 117.
  8. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 123.
  9. Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, Uni Darmstadt, S. 12-16.