Parameterdarstellung

Unter einer Parameterdarstellung (auch Parametrisierung oder Parametrierung) einer Kurve versteht man in der Mathematik eine Darstellung, bei der die Punkte der Kurve über einen einzigen Parameter abgelaufen werden können, im Gegensatz zur impliziten Beschreibung durch eine Gleichung, beispielsweise F(x,y)=0. (Analog geht man bei der Parametrisierung von Flächen bzw. höherdimensionalen Gebilden vor, s.u.) Bei einer Parameterdarstellung ist es leicht, einzelne Punkte zu erhalten, umgekehrt fällt es bei einer Gleichungsdarstellung leicht, zu entscheiden, ob ein vorgegebener Punkt zu dem Objekt gehört oder nicht. Die Parameterdarstellungen eines geometrischen Objekts sind nicht eindeutig, es gibt beispielsweise mehrere Wege, die als Bild eine gewisse Kurve haben.

Punkte auf dem Kreis über Parameterdarstellung und Kreisgleichung
(Hinweis: statt (0,4; 0,9) muss es genauer $(0,4;\,\sqrt{0,84})$ heißen)

Ein Beispiel ist die Beschreibung des Einheitskreises in der Ebene: eine Parameterdarstellung wäre

$(\cos t; \sin t)\quad\mathrm{f\ddot ur}\ 0\leq t < 2\pi$,

eine Gleichung wäre

$x^2 + y^2 = 1\,$.

So kann man aus der ersten Darstellung unmittelbar Punkte auf der Kreislinie erhalten, beispielsweise (cos 0,3; sin 0,3). Umgekehrt kann man an der zweiten Beschreibung unmittelbar ablesen, dass (0,6; 0,8) ein Punkt auf der Kreislinie ist, (0,4; 0,9) jedoch nur im Rahmen der Zeichengenauigkeit, da 0,4²+0,9²=0,97 ≠1 gilt.

Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen

Unter der Parameterdarstellung (oder auch Parameterform) einer Geradengleichung oder einer Ebenengleichung versteht man die Form

$\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u$ (Geradengleichung)

bzw.

$\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot\vec v$ (Ebenengleichung),

mit den reellen Parametern $\lambda$ und $\mu$. Der Vektor $\vec r_0$ ist der Ortsvektor eines Punktes P₀ auf der Geraden bzw. Ebene. Während $\vec u$ in der Geradengleichung ein Richtungsvektor ist, nennt man $\vec u$ und $\vec v$ in einer Ebenengleichung Spannvektoren. Nachstehend ist dies an einer Ebene erläutert:

Die Richtungsvektoren spannen ein affines Koordinatensystem auf (durch das blaue Koordinatennetz innerhalb der Ebene angedeutet), wobei λ und μ die affinen Koordinaten darstellen. Ein Punkt Q der Ebene kann erreicht werden, indem man vom Koordinatenursprung aus zunächst Vektor $\vec r_0$ durchläuft und dann λ-mal Vektor $\vec u$ und μ mal Vektor $\vec v$. Im abgebildeten Beispiel ist λ = 2 und μ = 3:

$\vec r_Q = \vec r_0 + 2 \cdot \vec u + 3 \cdot \vec v$.

Der Punkt Q hat dann die affinen Koordinaten (2|3). Zugleich hat er natürlich kartesische Koordinaten. Sind beispielsweise P₀(4|-6|3) der Ausgangspunkt, sowie

$\vec u = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec v = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

die Richtungsvektoren, so hat die Ebene die Gleichung:

$\vec r = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Der Ortsvektor von Q ist dann

$\vec r_Q = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

und Q hat die kartesischen Koordinaten Q(-4|1|4).

Reguläre Parameterdarstellungen

Eine differenzierbare Parameterdarstellung einer Kurve heißt regulär, wenn ihre Ableitung nirgendwo verschwindet; sie muss nicht notwendigerweise injektiv sein. Allgemein heißt eine differenzierbare Parameterdarstellung regulär, wenn sie eine Immersion ist, das heißt wenn ihre Ableitung überall injektiv ist (das heißt ihr Rang ist größer gleich der Dimension des Urbilds).

Verallgemeinerung auf höhere Dimension

Die Verallgemeinerung ist naheliegend: Es sei $\mathcal K$ eine „Karte" einer d-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit $\mathcal M$. Die Karte ist gegeben durch eine n-dimensionale differenzierbare Parametrisierung: Für Punkte P  in $\mathcal K$ gilt also:   $P\,\hat =\,(u_1,\,\dots\,,u_n)\,,$ mit differenzierbaren Funktionen u_i.

Für eine beliebige Funktion $f(P)$ der Punkte P  der Mannigfaltigkeit gilt dann für die Ableitung in Richtung des Tangentialvektors einer Kurve auf $\mathcal M$ , die auf der Karte $\mathcal K$ den Kurvenparameter λ hat:   $\frac{{\rm d} f}{{\rm d} \lambda }=\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{{\rm d} u_i}{{\rm d}\lambda}\,.$

Dieses Ergebnis ist wegen der Kettenregel unabhängig von der gewählten Parametrisierung.

Weblinks

• Online-Parameterdarstellungsplotter
• Online-Rechner für verschiedene Ebenendarstellungen