Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um die Rechnung mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung.

Hier liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

$\frac{a}{(x-x_i)^j}$

dargestellt werden kann. Die $x_i$ sind dabei die Polstellen der Funktion.

Werden die Polstellen als bekannt vorausgesetzt, so ist die Bestimmung der Zähler $a$ die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen $x_i$ und infolgedessen auch die Zahlen $a$ nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle $z_i$ auch die konjugiert komplexe Zahl $\overline {z_i}$ Nullstelle ist.

Statt $\frac{a_1}{(x-z_i)^j}$ und $\frac{a_2}{(x-\overline{z_i})^j}$ verwendet man dann einen Term $\frac{b+cx}{(x^2+px+q)^j}$, wobei ${x^2+px+q}=(x-z_i)\cdot(x-\overline{z_i})$ eine reelle quadratische Form ist und auch $b$ und $c$ reell sind.

Der Hauptsatz über Partialbruchzerlegung

Reellwertige Funktionen

Jede rationale Funktion $R:\mathbb R \to \mathbb R$ mit den $m$ verschiedenen reellen Polstellen $x_i$ der Ordnung $r_i$ und den $n$ bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen $z_i$ der Ordnung $s_i$ hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

$R(x) = P(x) + \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j} + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{s_i} \frac{b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_i)^j(x-\overline{z_i})^j}$

mit einer Polynomfunktion $P$ und reellen Konstanten $a_{ij}$, $b_{ij}$ und $c_{ij}$. Diese wird die Partialbruchzerlegung (abgekürzt PBZ) von $R$ genannt.

Die Brüche $\frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}$ heißen Partial- oder Teilbrüche 1. Art, die Brüche $\frac{b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_i)^j(x-\overline{z}_i)^j}$ Partial- oder Teilbrüche 2. Art.

Komplexwertige Funktionen

Jede rationale Funktion $R:\mathbb C \to \mathbb C$ mit den $n$ verschiedenen Polstellen $x_i$ der Ordnung $r_i$ hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

$R(x) = P(x) + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}$

mit einer Polynomfunktion $P$ und komplexen Konstanten $a_{ij}$.

Dieser Satz lässt sich für Polynome über jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern.

Anwendungen

Die Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt. Da die Integrale sämtlicher Partialbrüche bekannt sind, ist die Integration immer möglich, wenn sich die Polstellen der betrachteten Funktion angeben lassen.

Des Weiteren wird die Partialbruchzerlegung bei der Laplace- und der z-Transformation benötigt.

Verfahren

Die Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion $R$ wird in mehreren Schritten bestimmt:

1. Man vergleicht den Grad des Zählers mit dem des Nenners von $R$:
   • Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom $P$ und möglicherweise eine rationale Restfunktion $R^*=\frac{Z^*}{N^*}$, sodass gilt: $R(x)=P(x)+R^*(x)$.
     • Ist $R^*\equiv 0$, ist das Verfahren abgeschlossen.
     • Andernfalls hat der Zähler $Z^*$ von $R^*$ einen kleineren Grad als der Nenner $N^*$. Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion $R^*$ weiter.
   • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion $R$ direkt betrachten. Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermöglichen, setzen wir in diesem Fall $R^*:=R$.
2. Anschließend betrachtet man die Nullstellen von $N^*$. Abhängig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet.
3. Die Konstanten $a_{ij}$, $b_{ij}$ und $c_{ij}$ erhält man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Die beiden letzten Schritte sollen nun im Detail erläutert werden.

Ansatz

Vorausgesetzt wird hier, dass $R^*$ in der Form $R^*(x)=\frac{Z^*(x)}{N^*(x)}$ gegeben ist, wobei der Grad von $Z^*$ kleiner als der Grad des Nennerpolynoms $N^*$ ist und sämtliche Nullstellen von $N^*$ bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die $n$ verschiedenen Nullstellen $x_i$ und ihr jeweiliger Grad $r_i$ bekannt, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

$N^*(x)=(x-x_1)^{r_1}\cdot(x-x_2)^{r_2}\cdot ... \cdot(x-x_n)^{r_n}$

Zu beachten ist, dass einige der $x_i$ komplex sein können.

Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:

• Für jede einfache reelle Nullstelle $x_i$ enthält er einen Summanden $\frac{a_{i1}}{x-x_i}$

• Für jede $r_i$-fache reelle Nullstelle $x_i$ enthält er $r_i$ Summanden $\frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}+\dots+\frac{a_{ir_i}}{(x-x_i)^{r_i}}$

Da $R$ reell ist, gehört zu jeder komplexen Nullstelle $z_i$ notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle $\overline{z_i}$. Sei $x^2+p_ix+q_i$ das quadratische Polynom mit den Nullstellen $z_i$ und $\overline{z_i}$, also $x^2+p_ix+q_i := (x-z_i)(x-\overline{z_i})$.

• Für jede einfache komplexe Nullstelle $z_i$ enthält der Ansatz nun einen Summanden $\frac{b_ix + c_i}{x^2+p_ix+q_i}$

• Entsprechend enthält der Ansatz für jede $s_i$-fache komplexe Nullstelle $z_i$ (und die zugehörige, ebenfalls $s_i$-fache, konjugiert komplexe Nullstelle $\overline{z_i}$) die $s_i$ Terme $\frac{b_{i1}x + c_{i1}}{x^2+p_ix+q_i} + \frac{b_{i2}x+c_{i2}}{(x^2+p_ix+q_i)^2} + \ldots + \frac{b_{is_i}x + c_{is_i}}{(x^2+p_ix+q_i)^{s_i}}$

Jeder Ansatz enthält somit genau $g$ unbekannte Koeffizienten $a_{i1}, \dots , a_{ir_i}, b_{i1}, \dots , b_{is_i}, c_{i1}, \dots , c_{is_i}$

Bestimmung der Konstanten

Um die Konstanten $a_{ij}$, $b_{ij}$ und $c_{ij}$ zu ermitteln, wird $R^*$ mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom $N^*$ multipliziert.

Auf der einen Seite der Gleichung steht dann nur noch das Zählerpolynom $Z^*$, auf der anderen ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein Polynom in $x$ ist und entsprechend nach den Potenzen von $x$ geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken und rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen. Alternativ kann man bis zu $g$ beliebige verschiedene Werte für $x$ in diese Gleichung einsetzen, was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus $g$ Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt. Sinnvoll ist das Einsetzen der zuvor berechneten (reellen) Nullstellen, was sofort jeweils einen Koeffizientenwert liefert.

Diese beiden Möglichkeiten können auch kombiniert werden.

Laurent-Reihenentwicklung

Ist für jede Polstelle eine Laurent-Reihenentwicklung der Funktion bekannt, so erhält man die Partialbruchzerlegung sehr einfach als Summe der Hauptteile dieser Laurent-Reihen. Dieser Weg steht im Zusammenhang mit dem Residuenkalkül.

Beispiele

1. Beispiel

$R(x) = \frac {x} {x^2-1}$.

Es gibt zwei einfache Definitionslücken $x_1=1$ und $x_2=-1$. Der Ansatz lautet also

$\frac{x}{x^2-1} = \frac {a_1} {x-1} + \frac {a_2}{x+1},$

wobei $a_1$ und $a_2$ unbekannte, noch zu ermittelnde Konstanten sind. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit $(x^2 -1)$, erhält man

$x=a_1(x+1) + a_2(x-1)$.

Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit $x$ und Gliedern ohne $x$, so ergibt sich

$x = (a_1+a_2)x + (a_1-a_2)$.

Koeffizientenvergleich: Der Koeffizient von $x$ ist Eins: $a_1+a_2=1$ und das absolute Glied Null: $a_1-a_2=0$. Hieraus lässt sich berechnen: $a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_2= \frac{1}{2}.$ Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also

$\frac {x}{x^2-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}.$

2. Beispiel (doppelte Nullstelle)

$R(x) = \frac {x^2}{x^2-2x+1} = 1 + \frac {2\;x-1}{(x-1)^2}$ (Polynomdivision und Faktorenzerlegung des Nenners.)

$x_0 = 1$ ist also die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners. Ansatz:

$\frac {2\;x-1}{(x-1)^2} = \frac {a_{11}}{x-1} + \frac {a_{12}}{(x-1)^2} \quad | \cdot (x-1)^2$

$2\;x-1 = a_{11} (x-1) + a_{12}$

$2\;x-1 = a_{11}x-a_{11} + a_{12}$

Koeffizientenvergleich:

$a_{11} = 2$
$-a_{11} + a_{12} = -1$

Lösung:

$a_{11}=2, \quad a_{12}=1$,

also erhalten wir die Partialbruchzerlegung

$\frac {x^2}{x^2-2x+1} = 1 + \frac {2}{x-1} + \frac {1}{(x-1)^2}$.

3. Beispiel (komplexe Nullstelle)

$R(x) = \frac {5x^2+2x+1}{x^3+x}$.

Der Nenner hat hier eine reelle Nullstelle $x_1=0$, eine komplexe Nullstelle $x_2=z_1=\mathrm{i}$ und deren konjugiert-Komplexe $x_3=\overline{z_1}=-\mathrm{i}$.
Das quadratische Polynom mit den Nullstellen $z_1$ und $\overline{z_1}$ ist $(x-z_1)(x-\overline{z_1})=(x-\mathrm{i})(x+\mathrm{i})=x^2+1$

Ansatz:

$\frac {5x^2+2x+1}{x^3+x} = \frac {a_1}{x} + \frac {b_1x+c_1}{x^2+1}$

$5x^2+2x+1 = a_1x^2+a_1+b_1x^2+c_1x$

$5x^2+2x+1 = (a_1+b_1)x^2 + c_1x + a_1$

Koeffizientenvergleich:

$a_1+b_1 = 5$
$c_1 = 2$
$a_1 = 1$

Lösung:

$a_1=1, \quad b_1=4, \quad c_1=2$,

Partialbruchzerlegung:

$\frac {5x^2+2x+1}{x^3+x} = \frac {1}{x} + \frac {4x+2}{x^2+1}$.

Literatur

• Schülerduden Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 316-317
• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3. Auflage 1990, ISBN 0-673-38638-4, S. 364-370
•  L.D. Kudryavtsev: Undetermined coefficients, method of. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
• Eric W. Weisstein: Partial Fraction Decomposition. In: MathWorld. (englisch)

Weblinks

• Beispiel einer Partialbruchzerlegung
• Online-Rechner und kommentierte interaktive Beispiele (Arndt Brünner)