Pauli-Matrizen

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Die Pauli-Matrizen \sigma _1, \sigma _2, \sigma _3 (nach Wolfgang Pauli) bilden zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit \sigma _0 bezeichnet wird, eine Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums der komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen: \sigma_i \in H_2(\mathbb{C}).

Definition[Bearbeiten]

Die Pauli-Matrizen lauten


\sigma_0 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},\quad

\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -\mathrm{i}\\
\mathrm{i} & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}.

Die hier auftretende imaginäre Einheit \mathrm{i} darf nicht mit dem häufig gebrauchten Index i verwechselt werden.

Multiplikation[Bearbeiten]

Bei der Multiplikation einer Pauli-Matrix mit einer anderen Pauli-Matrix, folgt aus den Rechenregeln der Matrixmultiplikation:


\begin{pmatrix}
\sigma_0 \, \sigma_0 & \sigma_0 \, \sigma_1 & \sigma_0 \, \sigma_2 & \sigma_0 \, \sigma_3 \\
\sigma_1 \, \sigma_0 & \sigma_1 \, \sigma_1 & \sigma_1 \, \sigma_2 & \sigma_1 \, \sigma_3 \\ 
\sigma_2 \, \sigma_0 & \sigma_2 \, \sigma_1 & \sigma_2 \, \sigma_2 & \sigma_2 \, \sigma_3 \\ 
\sigma_3 \, \sigma_0 & \sigma_3 \, \sigma_1 & \sigma_3 \, \sigma_2 & \sigma_3 \, \sigma_3 \\ 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_0 & \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 \\
\sigma_1 & \sigma_0 & \mathrm{i}\,\sigma_3 & -\mathrm{i}\,\sigma_2 \\ 
\sigma_2 & -\mathrm{i}\,\sigma_3 & \sigma_0 & \mathrm{i}\,\sigma_1 \\ 
\sigma_3 & \mathrm{i}\,\sigma_2 & -\mathrm{i}\,\sigma_1 & \sigma_0 \\ 
\end{pmatrix}

Dekomposition von Matrizen[Bearbeiten]

Gegeben sei eine 2×2-Matrix \mathbf{A} mit den Elementen \left\{ a_{ij}\ |\ i,j \in \left\{ 0,1 \right\}, a_{ij} \in \mathbb{C} \right\}, so lassen sich komplexe Zahlen \left\{ z_i\ |\ i \in \left\{ 0,1,2,3 \right\}, z_i \in \mathbb{C} \right\} finden, für die gilt:

\mathbf{A} 
= 
\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix}
z_{0}+z_{3} & z_{1}-\mathrm{i}\,z_{2} \\
z_{1}+\mathrm{i}\,z_{2} & z_{0}-z_{3} \\
\end{pmatrix} 
=
z_0\,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 
z_1\,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 
z_2\,\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + 
z_3\,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
=
z_0\,\sigma_0 + z_1\,\sigma_1 + z_2\,\sigma_2 + z_3\,\sigma_3

Es gelten hierbei die Zusammenhänge:

a_{00} = z_0 + z_3,\quad a_{01} = z_1 - \mathrm{i}\,z_2,\quad a_{10} = z_1 + \mathrm{i}\,z_2,\quad a_{11} = z_0-z_3

bzw.:


z_0 = \frac{a_{00} + a_{11}}{2},\quad 
z_1 = \frac{a_{10} + a_{01}}{2},\quad 
z_2 = -\mathrm{i}\frac{a_{10} - a_{01}}{2},\quad 
z_3 = \frac{a_{00} - a_{11}}{2}

Hierbei wird deutlich, dass die Matrix \mathbf{A} in Form eines Vektors \vec{z} mit den Pauli-Matrizen \sigma_i als Basis dargestellt werden kann.

In dem Spezialfall, dass alle a_{ij} = 0 sind, sind alle z_i = 0.

Berechnung von Inversen einer Matrix[Bearbeiten]

Mittels der Parametrisierung der Matrix \mathbf{A} durch die z_i lässt sich im Fall von z_0^2 - z_1^2 - z_2^2 - z_3^2 \ne 0 die inverse Matrix \mathbf{A}^{-1} ausdrücken:

\mathbf{A}^{-1} = \frac{z_0\,\sigma_0 - z_1\,\sigma_1 - z_2\,\sigma_2 - z_3\,\sigma_3}{z_0^2 - z_1^2 - z_2^2 - z_3^2}

Skalierung[Bearbeiten]

Wird die Matrix \mathbf{A} mit einem Skalar s multipliziert:

\mathbf{A}' = s\,\mathbf{A} = \mathbf{A}\,s,

so gilt:

z_i' = s\,z_i

Anwendung[Bearbeiten]

In der Quantenphysik wird der Drehimpulsoperator \hat S_i ,\ i\in\{1,2,3\} von Spin-½-Zuständen, beispielsweise bei Elektronen, durch die Paulimatrizen dargestellt:

\hat S_i \doteq \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i,

wobei \doteq „wird dargestellt durch” bedeutet.

Darstellung[Bearbeiten]

Die Pauli-Matrizen können neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für die Linearkombination entweder die Standard-Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix Matrix Linearkombination (Standard-Basisvektoren) Linearkombination (Eigenvektoren)
\sigma_1=\sigma_x \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} |0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0| |+\rangle\langle+|\,-\,|-\rangle\langle-|
\sigma_2=\sigma_y \begin{pmatrix}0 & -\mathrm i\\\mathrm i & 0 \end{pmatrix} \mathrm i \left( |1\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| \right) |\phi^+\rangle\langle\phi^+|-|\phi^-\rangle\langle\phi^-|
\sigma_3=\sigma_z \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1| |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert, wobei die verwendeten Bras durch Vektoren des \C ^2 dargestellt werden, was durch „\doteq“ gekennzeichnet ist:

\begin{align}
|0\rangle&=|s_z+\rangle \doteq \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} ,&
|1\rangle&=|s_z-\rangle \doteq \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} ,\\[0.5em]
|+\rangle& \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},&
|-\rangle& \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\\[0.5em]
|\phi^+\rangle& \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\mathrm i\end{pmatrix},&
|\phi^-\rangle& \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-\mathrm i\end{pmatrix}
\end{align}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und unitär. Daraus folgt mit dem durch \sigma_0:=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix} definierten vierten Basiselement

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2 = \sigma_0.

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind

\begin{matrix}
\det \sigma_i &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{tr} \sigma_i &=& 0 & \quad \mbox{für}\ i = 1, 2, 3.
\end{matrix}

Aus Obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix \mathbf{\sigma}_i die Eigenwerte +1 und -1 besitzt.

Des Weiteren:

\sigma_1 \, \sigma_2 \, \sigma_3 = \mathrm i \, \sigma_0

Die Pauli-Matrizen erfüllen die algebraische Relation

\sigma_i \, \sigma_j  = \delta_{ij}\sigma_0 + \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3\,

(\epsilon_{ijk} ist das Levi-Civita-Symbol), also insbesondere bis auf einen Faktor 2 dieselben Relationen wie die Drehimpulsalgebra

[\sigma_i\,,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3.

und die Clifford- oder Dirac-Algebra \mathrm{Cl}(0,3,\mathbb R)

\{\sigma_i\,,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i  = 2\, \delta_{ij}\sigma_0 \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3.

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall l=1/2 von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren \Lambda_{m} eines Drehimpuls-l-Multipletts mit Quantenzahlen m in Maßsystemen mit \hbar=1 folgendermaßen wirken:

L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,
L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,
L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.

Dabei ist 2l+1 eine natürliche Zahl und für m treten die 2l+1 verschiedenen Quantenzahlen m=-l,-l+1,\dots ,l auf. Für l=1/2 wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren \Lambda_{1/2} und \Lambda_{-1/2} demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,
L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,
L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.

Mit L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-) und L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-) ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe, Zusammenhang mit Spin-1/2-Systemen[Bearbeiten]

Die lineare Hülle der mit \mathrm i multiplizierten[1] Pauli-Matrizen \mathrm i\,\sigma_1,\,\mathrm i\,\sigma_2,\,\mathrm i\,\sigma_3 ist mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra. Aufgrund der mit \vec n \cdot \vec{\sigma} \,= n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2 + n_3 \sigma_3 für jeden Einheitsvektor \vec n\in\mathbb R^3 geltenden Identität[2]

\exp\Bigl(\!\!-\mathrm i\,\tfrac{\alpha}{2} \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \Bigr)
= \sigma_0\,\cos\tfrac{\alpha}{2} - \mathrm{i}\, (\vec n \cdot \vec{\sigma})\, \sin\tfrac{\alpha}{2}

sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe SU(2).

Der Faktor 1/2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar. Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung häufig in genau dieser Form benötigt. Denn (wie in der Einleitung erwähnt) stellen in der Quantenphysik die Matrizen S_i = \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i die Operatoren für die Spinkomponenten eines Spin-1/2-Systems (beispielsweise eines Elektrons) dar. Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veränderung des Spinzustands bei einer räumlichen Drehung. \alpha ist dabei der Drehwinkel, \vec n die Drehachse. Für \alpha = 2\pi ergibt sich \exp\bigl(\!\!-\mathrm i\,\pi \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \bigr) = -\sigma_0 ; d. h. der Zustandsvektor eines Spin-1/2-Systems wird durch Drehung um den Winkel 2\pi in sein Negatives und erst durch Drehung um den Winkel 4\pi wieder in sich selbst übergeführt („Spinordrehungen“).

Eigenvektoren[Bearbeiten]

Die Matrix \sigma_3 hat die Eigenvektoren

 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
       \chi_{32} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

wie man leicht erkennen kann:

 \sigma_3 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
                          = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
       \sigma_3 \chi_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
                          = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}
                          = -1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

entsprechend den Eigenwerten \pm 1. Die Eigenvektoren von \sigma_1 sind

 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad
       \chi_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}:
 \sigma_1 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
                          = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad
       \sigma_1 \chi_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
                         = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
                         = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

und die Eigenvektoren von \sigma_2

 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad
       \chi_{22} = \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}:
 \sigma_2 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}
                          = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad
       \sigma_2 \chi_{22} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}
                         = \begin{pmatrix} - \mathrm i \\ -1 \end{pmatrix}
                         = -1 \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}

Isomorphie zu den Quaternionen[Bearbeiten]

Die mit der imaginären Einheit multiplizierten Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix, also die Menge \{\sigma_0, \mathrm i \sigma_1, \mathrm i \sigma_2, \mathrm i \sigma_3\}\,, spannen eine 4-dimensionale R-Algebra auf, die zu den Quaternionen H isomorph ist. Eine isomorphe Zuordnung ist beispielsweise:


1 \mapsto \sigma_0, \quad
i_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_1, \quad
j_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_2, \quad
k_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_3,

mit i_{\mathbb H},j_{\mathbb H},k_{\mathbb H} als den bekannten Einheitsquaternionen. Vor diese Zuordnung lässt sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q8 schalten. So kann auch ein Isomorphismus „in umgekehrter Ordnung“ gebaut werden:[3]


1 \mapsto \sigma_0, \quad
i_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_3, \quad
j_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_2, \quad
k_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_1.

Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen[Bearbeiten]

Pauli-Matrizen können zur Darstellung von Hamilton-Operatoren und zur Näherung der Exponentialfunktion solcher Operatoren verwendet werden. Sind  \sigma_0 , \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.

 p := \sigma_{\mu_{1}} \otimes \sigma_{\mu_{2}} \otimes ... \otimes \sigma_{\mu_{n}} \quad ; \quad \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n} \in \{0,1,2,3\} \quad ; \quad n \in \N

Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen. Sind  p_1 und  p_2 zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:

  •  p_1 , p_2 sind  2^n \times 2^n Matrizen
  •  p_1^2 = p_2^2 = 1 \qquad (Die  2^n \times 2^n Einheitsmatrix)
  •  p_1 p_2 = p_2 p_1 oder  p_1 p_2 = - p_2 p_1 \qquad (Kommutativität)
  • \operatorname{Spur} \sigma_{\mu_1} \otimes \sigma_{\mu_2} \otimes ... \otimes \sigma_{\mu_n} = 2^{n} \delta_{\mu_1,0} \delta_{\mu_2,0} ... \delta_{\mu_n,0}
  • Die Kronecker-Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängig und bilden eine Basis im Vektorraum der  2^n \times 2^n -Matrizen. Hamilton-Operatoren  H vieler physikalischer Modelle lassen sich aufgrund der Basiseigenschaft als Summe solcher Matrizen ausdrücken (Linearkombination). Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.
 H = \sum_{k=0}^{N} h_{k} p_{k} \quad mit \quad N \in \N , h_{k} \in \R , p_{k} ist Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen.

Beispiele für derartige Modelle sind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell (Quantenmechanik) und Anderson-Modell.

Das Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen tritt bei der Beschreibung von Spin-1/2-Systemen auf, die aus mehreren Teilsystemen aufgebaut sind. Der Zusammenhang ist dadurch gegeben, dass das Tensorprodukt zweier Operatoren in der zugehörigen Matrixdarstellung gerade durch das Kronecker-Produkt der Matrizen gegeben ist (siehe Kronecker-Produkt#Zusammenhang mit Tensorprodukten).

Näherung der Exponentialfunktion des Hamilton-Operators[Bearbeiten]

Häufig interessiert man sich für die Exponentialfunktion des Hamilton-Operators.

 \exp\{-\beta H\} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-\beta)^l}{l!} \biggl( \sum_{k=0}^{N} h_{k} p_{k} \biggr)^l \quad \text{mit} \quad \beta \in \R

Aufgrund der Kommutativität kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen. Ist  \pi eine Permutation, so ist:

 p_{\pi_{1}} p_{\pi_{2}} ... p_{\pi_{n}} = a p_{1} p_{2} ... p_{n} \quad \text{mit} \quad n \in \N , a \in \{1,-1\}

Deshalb existieren rationale Zahlen  E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} mit:


\exp\{-\beta H\} = \sum_{k_{1}=0}^{\infty} \sum_{k_{2}=0}^{\infty} ... \sum_{k_{N}=0}^{\infty} E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} (-\beta h_{1})^{k_{1}} (-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} ... p_{N}^{k_{N}}

Diese rationalen Zahlen sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen.

Eine erste Näherung ergibt sich, indem man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Matrizen bestehen.

 E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} = 0 falls ein Paar  1 \le a,b \le N mit  p_{a} p_{b} = - p_{b} p_{a} und  k_{a},k_{b} > 0 existiert
 E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} = \frac{1}{k_{1}!} \frac{1}{k_{2}!} ... \frac{1}{k_{N}!} sonst

Die Näherung lässt sich weiter verbessern, indem man Paare, Tripel, … von nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Willi-Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-14811-X.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Kommentare[Bearbeiten]

  1. Durch die Multiplikation mit \pm\mathrm i entstehen aus hermiteschen Matrizen schiefhermitesche Matrizen. Eine Darstellung mit Hilfe von Hermiteschen Operatoren und Matrizen wird von Physikern bevorzugt, weil in der Quantenmechanik messbare Größen (sog. Observablen) stets durch Hermitesche Operatoren beschrieben werden.
  2. Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. S. 1142, W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  3. Mikio Nakahara: Geometry, topology, and physics, CRC Press, 2003, Seiten xxii ff (Google Books).