Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen $\sigma _1, \sigma _2, \sigma _3$ (nach Wolfgang Pauli) bilden zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit $\sigma _0$ bezeichnet wird, eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums der komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen. In der Quantenphysik stellen sie die Wirkung der Spindrehimpulsoperatoren, $S_i = \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i,\ i\in\{1,2,3\}$, auf Spin-½-Zuständen, beispielsweise auf Elektronen, dar.

Die Pauli-Matrizen lauten

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$

(An dieser Stelle ist der Index i von der imaginären Einheit $\mathrm i$ zu unterscheiden.)

Darstellung

Die Pauli-Matrizen können neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für die Linearkombination entweder die Standard-Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix	Matrix	Linearkombination (Standard-Basisvektoren)	Linearkombination (Eigenvektoren)
$\sigma_1=\sigma_x$	$\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix}$	$|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$	$|+\rangle\langle+|\,-\,|-\rangle\langle-|$
$\sigma_2=\sigma_y$	$\begin{pmatrix}0 & -\mathrm i\\\mathrm i & 0 \end{pmatrix}$	$\mathrm i \left( |1\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| \right)$	$|\phi^+\rangle\langle\phi^+|-|\phi^-\rangle\langle\phi^-|$
$\sigma_3=\sigma_z$	$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix}$	$|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|$	$|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|$

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert:

$\begin{align} |0\rangle&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},& |1\rangle&=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\\[0.5em] |+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},& |-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\\[0.5em] |\phi^+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\mathrm i\end{pmatrix},& |\phi^-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-\mathrm i\end{pmatrix} \end{align}$

Eigenschaften

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und unitär. Daraus folgt

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2 = \sigma_0$

wobei $\sigma_0$ wie erwähnt die 2×2-Einheitsmatrix ist.

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind

$\begin{matrix} \det \sigma_i &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{tr} \sigma_i &=& 0 & \quad \mbox{für}\ i = 1, 2, 3. \end{matrix}$

Aus Obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix $\mathbf{\sigma}_i$ die Eigenwerte +1 und -1 besitzt.

Des Weiteren:

$\sigma_1 \, \sigma_2 \, \sigma_3 = \mathrm i \, \sigma_0$

Die Pauli-Matrizen erfüllen die Algebra

$\sigma_i \, \sigma_j = \delta_{ij}\sigma_0 + \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3\,$

($\epsilon_{ijk}$ ist das Levi-Civita-Symbol), also insbesondere bis auf einen Faktor 2 die Drehimpulsalgebra

$[\sigma_i\,,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3.$

und die Clifford- oder Dirac-Algebra $\mathrm{Cl}(0,3,\mathbb R)$

$\{\sigma_i\,,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \delta_{ij}\sigma_0 \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3.$

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall $l=1/2$ von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren $\Lambda_{m}$ eines Drehimpuls-$l$-Multipletts mit Quantenzahlen $m$ in Maßsystemen mit $\hbar=1$ folgendermaßen wirken:

$L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,$

$L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,$

$L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.$

Dabei ist $2l+1$ eine natürliche Zahl und für $m$ treten die $2l+1$ verschiedenen Quantenzahlen $m=-l,-l+1,\dots ,l$ auf. Für $l=1/2$ wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren $\Lambda_{1/2}$ und $\Lambda_{-1/2}$ demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

$L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,\ L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,\ L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.$

Mit $L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)$ und $L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-)$ ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe, Zusammenhang mit Spin-1/2-Systemen

Die lineare Hülle der mit $\mathrm i$ multiplizierten Pauli-Matrizen $\mathrm i\,\sigma_1,\,\mathrm i\,\sigma_2,\,\mathrm i\,\sigma_3$ ist mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra, und aufgrund der mit $\vec n \cdot \vec{\sigma} \,\,:= n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2 + n_3 \sigma_3$ für jeden Einheitsvektor $\vec n\in\mathbb R^3$ und alle reellen $\alpha$ geltenden Identität

$\exp\Bigl(\!\!-\mathrm i\,\tfrac{\alpha}{2} \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \Bigr) = \sigma_0\,\cos\tfrac{\alpha}{2} - \mathrm{i}\, (\vec n \cdot \vec{\sigma})\, \sin\tfrac{\alpha}{2}$

sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe SU(2).

Der Faktor 1/2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar. Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung häufig in genau dieser Form benötigt. Denn (wie in der Einleitung erwähnt) stellen in der Quantenphysik die Matrizen $S_i = \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i,\ i\in\{1,2,3\}$ Operatoren dar, die die Veränderung des Zustands eines Spin-1/2-Systems (beispielsweise eines Elektrons) bei Messung der verschiedenen Spinkomponenten beschreiben. Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veränderung des Spinzustands bei einer räumlichen Drehung. $\alpha$ entspricht dabei dem gerichteten Drehwinkel um die durch den Einheitsvektor $\vec n \in\mathbb R^3$ gegebene orientierte Drehachse. Für $\alpha = 2\pi$ ergibt sich $\exp\bigl(\!\!-\mathrm i\,\pi \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \bigr) = -\sigma_0$ ; d. h. ein Spin-1/2-System wird nicht durch Drehung um den Winkel $2\pi$, sondern erst durch Drehung um den Winkel $4\pi$ wieder in den Ausgangszustand übergeführt („Spinordrehungen“).

Eigenvektoren

Die Matrix $\sigma_3$ hat die Eigenvektoren

$\chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \chi_{32} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

wie man leicht erkennen kann:

$\sigma_3 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 \chi_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

entsprechend den Eigenwerten $\pm 1$. Die Eigenvektoren von $\sigma_1$ sind

$\chi_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \chi_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}:$

$\sigma_1 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_1 \chi_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

und die Eigenvektoren von $\sigma_2$

$\chi_{21} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \chi_{22} = \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}:$

$\sigma_2 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 \chi_{22} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \mathrm i \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}$

Hier zeigt sich, dass die Eigenzustände der Spinoperatoren $S_1$ und $S_2$ Superpositionen der Eigenzustände von $S_3$ sind.

Isomorphie zu den Quaternionen

Die mit der imaginären Einheit multiplizierten Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix, also die Menge $\{\sigma_0, \mathrm i \sigma_1, \mathrm i \sigma_2, \mathrm i \sigma_3\}\,$, spannen eine 4-dimensionale R-Algebra auf, die zu den Quaternionen H isomorph ist. Eine isomorphe Zuordnung ist beispielsweise:

$1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_1, \quad j_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_3,$

mit $i_{\mathbb H},j_{\mathbb H},k_{\mathbb H}$ als den bekannten Einheitsquaternionen. Vor diese Zuordnung lässt sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q₈ schalten. So kann auch ein Isomorphismus „in umgekehrter Ordnung“ gebaut werden:

$1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_3, \quad j_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_1.$

Siehe auch

• Gell-Mann-Matrizen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pauli Matrices. In: MathWorld. (englisch)