Pell-Folge

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Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).

Pell Folge/Zahlen[Bearbeiten]

Die Folge ist rekursiv definiert durch:


  P(n)=
  \left\{
   \begin{matrix}
    0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{wenn }n=0\,;\ \ \\
    1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{wenn }n=1;\ \ \,\\
    2P(n-1)+P(n-2)&&\mbox{sonst.}
   \end{matrix}
  \right.

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ... (Folge A000129 in OEIS)

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge Un(P,Q) mit P=2 und Q=-1 interpretieren:

f_n=U_n(2,-1)

Silberner Schnitt[Bearbeiten]

Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:

 \delta_S : = \lim_{n \to \infty} \frac{P(n)} {P(n-1)} = 1+\sqrt{2}

Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge

Herleitung des Zahlenwertes[Bearbeiten]

Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen:   L := \lim_{n \to \infty} \frac{P(n) }{P(n-1)}

Mit  P(n) = 2*P(n-1) + P(n-2) folgt:


  L = \lim_{n \to \infty} \frac{2*P(n-1) +  P(n-2) }{P(n-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2*P(n-1)}{P(n-1)} + \lim_{n \to \infty} \frac{P(n-2) }{P(n-1)} = 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{P(n-2) }{P(n-1)}

Mit  L = \lim_{n \to \infty} \frac{P(n-1) }{P(n-2)}

folgt weiter:  L = 2 + \frac{1} {L}. Damit ergibt sich die quadratische Gleichung  L^2 - 2L -1 = 0


mit den beiden Lösungen    L_1 = 1+\sqrt{2}   und    L_2 =  1-\sqrt{2}

Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:

 \lim_{n \to \infty} \frac{P(n)} {P(n-1)} = 1+\sqrt{2}

Geschlossene Form der Pell-Folge[Bearbeiten]

Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:

 \lim_{n \to \infty} \frac{P(n) }{P(n-1)} = 1+\sqrt{2}   und    \lim_{n \to \infty} \frac{P(n) }{P(n-1)} = 1-\sqrt{2}.

Seien c_1 und  c_2 reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen

P_1(0) := c_1 \quad P_1(n) := c_1(1+\sqrt{2})^n \quad n\in\N   und
P_2(0) := c_2 \quad P_2(n) := c_2(1-\sqrt{2})^n \quad n\in\N

die Rekursionsformeln

 P_1(n) = 2P_1(n-1)+P_1(n-2)   und  
  P_2(n) = 2P_2(n-1)+P_2(n-2)   .

Deren Linearkombination   P_l(n) :=  c_1(1+\sqrt{2})^n +  c_2(1-\sqrt{2})^n erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.

Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten: P(0) = 0    und    P(1) = 1.

Eingesetzt in     P_l(n)     ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

P_l(0) =  c_1 +  c_2 = 0   und  
P_l(1) =  c_1(1+\sqrt{2}) +  c_2(1-\sqrt{2}) = 1

mit den Lösungen c_1 = \frac{1} { 2\sqrt{2}}    und   c_2 = -\frac{1} { 2\sqrt{2}}

Damit ergibt sich die geschossene Form der Pell-Folge:

P(n)=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

Erzeugende Funktion der Pell-Folge[Bearbeiten]

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:

\mathcal{P}(x) = \sum_{n=0}^\infty P(n)\cdot x^n = \frac{x}{1-2x-x^2}.

Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius  \sqrt{2}-1.

Herleitung der Funktion[Bearbeiten]

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius  \sqrt{2}-1.

Für  |x| <  \sqrt{2}-1 gilt daher mit P(n+2) - 2 \cdot P(n+1) - P(n) = 0 ,\ P(0) = 0 \text{ und } P(1) = 1 :


\begin{alignat}{5}
\mathcal{P}(x) & =  P(0) && + P(1)\cdot x && + P(2)\cdot x^2 && + P(3)\cdot x^3 && + P(4)\cdot x^4 + \ldots\\
{-2x}\cdot \mathcal{P}(x) & = && -2\cdot P(0)\cdot x && - 2 \cdot P(1)\cdot x^2 && -2 \cdot P(2)\cdot x^3 && - 2 \cdot P(3)\cdot x^4 - \ldots\\
{-x^2}\cdot \mathcal{P}(x) & = && && -P(0)\cdot x^2 && - P(1)\cdot x^3 && - P(2)\cdot x^4 - \ldots\\
\hline
(1-2x-x^2)\cdot \mathcal{P}(x) & = P(0) && + P(1)\cdot x - 2 \cdot P(0)\cdot x\\
& = x
\end{alignat}

Pell Zahlen 2. Art/ Companion Pell-Folge[Bearbeiten]

Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.

Die Folge ist rekursiv definiert durch:


  Q(n)=
  \left\{
   \begin{matrix}
    2\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{wenn }n=0\,;\ \ \\
    2,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{wenn }n=1;\ \ \,\\
    2Q(n-1)+Q(n-2)&&\mbox{sonst.}
   \end{matrix}
  \right.

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, ... (Folge A002203 in OEIS)

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge Vn(P,Q) mit P=2 und Q=-1 interpretieren:

Q(n)=V_n(2,-1)