Pell-Folge

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Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611-1685).

Pell Folge/Zahlen[Bearbeiten]

Die Folge ist rekursiv definiert durch:


  F(n)=
  \left\{
   \begin{matrix}
    0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{wenn }n=0\,;\ \ \\
    1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{wenn }n=1;\ \ \,\\
    2F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{sonst.}
   \end{matrix}
  \right.

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ... (Folge A000129 in OEIS)

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge Un(P,Q) mit P=2 und Q=-1 interpretieren:

f_n=U_n(2,-1)

Pell Zahlen 2. Art/ Companion Pell-Folge[Bearbeiten]

Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.

Die Folge ist rekursiv definiert durch:


  F(n)=
  \left\{
   \begin{matrix}
    2\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{wenn }n=0\,;\ \ \\
    2,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{wenn }n=1;\ \ \,\\
    2F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{sonst.}
   \end{matrix}
  \right.

Das bedeutet in Worten:

  • für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
  • jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, ... (Folge A002203 in OEIS)

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge Vn(P,Q) mit P=2 und Q=-1 interpretieren:

f_n=V_n(2,-1)