Pentomino

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Pentomino (auch Pentamino) ist ein Spiel, bei dem eine rechteckige Fläche oder Fläche mit vorgegebener Form mit Platten so gefüllt werden muss, dass alle 12 Platten verwendet werden und jedes Quadrat der Fläche belegt ist. Pentomino ist als Solospiel, also für eine Person, angelegt; man kann es aber auch für zwei oder mehr Spieler modifizieren. Unter dem Namen Pentominos erschien es als Zweipersonenvariante im Hallmarkverlag.[1]

Das Wort Pentomino wurde vom Mathematiker Solomon W. Golomb erfunden und erstmals im Jahr 1954 in einem Artikel der Fachzeitschrift American Mathematical Monthly verwendet[2]. Polyominos als übergeordnete Gruppe wurden erstmals 1957 in Scientific American ausführlich diskutiert.

Gelöste Pentominos

Die Spielsteine (oder Platten)[Bearbeiten]

Die 12 Spielsteine sind alle bis auf Symmetrie möglichen Kombinationen, die sich ergeben, wenn man 5 Quadrate so aneinanderlegt, dass sich die einzelnen Quadrate immer mit der vollen Kante berühren:

Pentaminos1.png

Zum besseren Verständnis hat man die Spielsteine mit Buchstaben bezeichnet, die der ungefähren Form des Steins entsprechen. Zeilenweise sind das im Bild: I, L, Y, V, T, U und N, X, P, W, Z, F. Die Spielsteine L, Y, N, P, Z und F liegen in zwei spiegelbildlichen Formen vor, die sich nur zur Deckung bringen lassen, wenn man einen Spielstein wendet. Von den anderen Spielsteinen gibt es nur eine Form, so dass sich insgesamt 18 Formen ergeben.

Als Spiel für eine Person[Bearbeiten]

In diesem Fall ist es ein Geduldspiel. Die Aufgabe besteht darin, aus den 12 Spielsteinen bestimmte Figuren zu legen. Es folgt eine Auswahl an Möglichkeiten:

  • Rechtecke mit 3×20, 4×15, 5×12 oder 6×10 Feldern:
3x20.PNG 4x15.PNG 5x12.PNG 6x10.PNG
2 Lösungen 368 Lösungen 1010 Lösungen 2339 Lösungen
  • Quadratische Felder mit Aussparungen
  • Die größeren 8×8-Varianten (12 Platten):
Pentamino 2170.PNG Pentamino 188.PNG Pentamino 65.PNG Pentamino 21.PNG Pentamino 74.PNG
2170 Lösungen 188 Lösungen 65 Lösungen 21 Lösungen 74 Lösungen
  • Die kleineren 7×7-Varianten (9 Platten):
Pentamino 7x7a.PNG Pentamino 7x7b.PNG Pentamino 7x7d.PNG Pentamino 7x7e.PNG
  • Ein Feld, das die dreifach vergrößerte Gestalt eines einzelnen Spielsteins hat, mit 9 der 11 anderen Steine ausfüllen:
Pentomino I.png Pentomio Y.png Pentomino U.png
Pentamino w.PNG Pentamino x.PNG Pentamino z.PNG Pentamino f.PNG
Anzahl möglicher Lösungen (ohne Spiegelungen):[3]
Pentomino F I L N P T U V W X Y Z
Lösungen 125 19 113 68 497 106 48 63 91 15 86 131
  • Man kann alle Pentominos aus Pentominos zusammensetzen:
Metapuzzle1.png
  • Andere Formen:
    X               X
   XXX             XXX
  XXXXX           XXXXX
 XXXXXXX         XXXXXXX
XXXXXXXXX         XXXXX
                   XXX
                    X

Es gibt noch weitere Geduldspiele, wie das Geburtstagspuzzle, bei dem auf einem 8×8-Spielfeld 12 Spielsteine so untergebracht werden müssen, dass die 4 freibleibenden Quadrate ein bestimmtes Datum anzeigen.

Als Spiel für zwei Personen[Bearbeiten]

Ein mögliches Regelwerk für ein Strategiespiel mit zwei Personen wäre das folgende:

  • Alle Teile werden aufgeteilt, indem abwechselnd jeder Spieler ein Teil an sich nimmt.
  • Sind alle Teile vergeben, beginnt das Spiel. Die Spieler legen abwechselnd einen ihrer Spielsteine auf ein vorher gewähltes Spielfeld.
  • Der Spieler, der zuerst keinen Spielstein mehr auf dem Spielfeld unterbringen kann, hat verloren.

Käufliche Mehrpersonenspiele, die mit Pentomino- bzw. Polyomino-Spielsteinen arbeiten, gibt es mehrere.

Eine (unvollständige) Liste:

  • Pentominos (1973 bei Hallmark erschienen, basierend auf den Ideen von Golomb). Die 12 Spielsteine werden abwechselnd auf einem Schachbrett aufgelegt, bis kein Zug mehr möglich ist – der Spieler mit dem letzten Zug gewinnt. Hierzu existiert eine Gewinnstrategie für den Spieler, der beginnt.[4]
  • Blokus (ebene Steine, wohl das bekannteste)
  • Duopento (ebene Steine, Regel ähnlich obiger)
  • Rumis (3D-Steine)
  • Turm-Baumeisterspiel (3D-Steine)
  • Ubongo (ebene Steine)
  • Ubongo 3D (3D-Steine)

3D-Pentomino[Bearbeiten]

Anstelle von Quadraten kann man die Spielsteine auch aus Würfeln bilden (sie werden dann auch Pentakuben genannt). Aus diesen Spielsteinen können dann, genau wie aus dem Somawürfel, viele verschiedene dreidimensionale Objekte gelegt werden, zum Beispiel Quader mit den folgenden Abmessungen:

  • 5×4×3: 3940 Lösungen
  • 6×5×2: 264 Lösungen
  • 10×3×2: 12 Lösungen

Außerdem kann man einige der Spielsteine selbst vergrößert bauen. Jeder Würfel im nachzubildenden Stein wird durch einen 2x2x3-Block nachgebaut.

Folgende Spielsteine lassen sich nachbauen: F mit 1, P mit 1082, U mit 10, Z mit 24, T mit 3, V mit 21, N mit 51, Y mit 7 und L mit 99 Lösungen.

Pentomino als Computerspiel[Bearbeiten]

Neben der Form des Spiels zum Anfassen wurde (und wird) Pentomino oft als Tüftelei am Computer umgesetzt. Pentomino hat Alexei Paschitnow zu Tetris inspiriert.

Animation des F-Pentominos in Conways Spiel des Lebens.

In dem von dem englischen Mathematiker John Horton Conway entworfenen „Spiel des Lebens“, einem zweidimensionalen zellulären Automaten, zeigt die relativ einfache Startfigur des F-Pentominos zunächst ein völlig chaotisches Verhalten, bevor es von dem 1103. Schritt an eine oszillierende Struktur bildet.

Varianten[Bearbeiten]

An Stelle von Platten mit 5 Quadraten gibt es das Spiel auch mit Platten, die aus 6 Quadraten zusammengesetzt sind. Diese Variante heißt Hexamino und hat 35 verschiedene Platten. Heptamino hat 108 und Oktamino 369 verschiedene Platten.

Die aus 4 Quadraten zusammengesetzten 5 verschiedenen Platten des Tetramino haben ihren Eingang in das Computerspiel Tetris gefunden.

Anstelle von Quadraten können auch andere geometrische Figuren gewählt werden: gleichseitige Dreiecke, Sechsecke, Rechtecke, gar Gruppen aus zwei oder mehr verschiedenen Figuren. Man muss die Figuren auch nicht mit der vollen Kante aneinanderstoßen lassen, sondern kann sie zum Beispiel um die Hälfte verschieben. Die Variationsmöglichkeiten sind enorm.

Das L-Spiel für zwei Personen ist ebenfalls eine Variante, hier wird allerdings nur mit einer Spielfigur (je Spieler) gespielt.

„Parallel polarisierte“ Spielsteine[Bearbeiten]

Eine interessante Variante bilden die sogenannten „polarisierten“ Spielsteine. Denkt man sich die Ebene von senkrechten bzw. waagerechten (parallelen) „Polarisationsfeldern“ durchzogen, so kann man von den meisten Spielsteinen jeweils zwei Ausführungen unterscheiden, also praktisch eine „waagerechte“ sowie eine „senkrechte“ Variante. Nur die Spielsteine W, X und V sind sozusagen „in sich selbst“ polarisiert und kommen daher nur einfach vor. Selbstverständlich ist bei der Konstruktion von Puzzles nun darauf zu achten, dass die Teile alle ausschließlich in einer „Polarisationsrichtung“ gebraucht werden dürfen. Unter den genannten Voraussetzungen ergeben sich die folgenden 21 Teile:

"Parallel polarisierte Spielsteine"
Pentominos (par Pol).jpg
Lösungsbeispiele
Pento par Pol 11x11.jpg

Periodische Muster[Bearbeiten]

Umfang 15, Höhe 4
4x15 Pentomino-Muster (Fundamentalbereich)

Sind die zwölf Pentomino-Fliesen biegbar, so kann man mit ihnen den Mantel eines passend dimensionierten geraden Kreiszylinders vollständig und ohne Überlappungen bekleben (Abbildung links). Während im Rechteck der Verlegung der Fliesen von den vier Seiten Grenzen gesetzt sind, wird diese auf dem Zylinder nur in zwei Richtungen beschränkt; die Mantellinien sind für die Fliesen kein Hindernis.

Das unbeschränkte Abrollen des Zylindermantels in eine Ebene liefert einen ebenen, unendlich langen Streifen, der mit der periodischen Wiederholung eines Musters ausgefüllt ist, das aus je einem der zwölf Pentomino-Fliesen zusammengesetzt ist (Abbildung rechts).

6x10 Pentomino-Muster (Fundamentalbereich)
Sicht von oben
Sicht von unten

Die Idee der Periodizität lässt sich ausweiten, indem man die ganze Ebene so mit einem Muster aus zwölf verschiedenen Pentomino-Platten parkettiert, dass sie durch Translationen in zwei verschiedenen Richtungen auf sich abgebildet wird. In der Abbildung links, die den Ausschnitt einer Parkettierung mit den Perioden 10 und 6 zeigt, ist ein einfach zusammenhängender Fundamentalbereich durch eine schwarze Einfassung hervorgehoben.

Im Unterschied zur Wechselbeziehung zwischen Streifen und Zylinder gibt es im Falle der doppelten Periodizität keine geschlossene Fläche, auf die sich der eingerahmte Bereich längentreu abbilden lässt. Indessen kann man einen Torus, dessen Oberfläche durch äquidistante Längen- und Breitenkreise in sechzig Vierecke geteilt wird, nach dem durch den Fundamentalbereich (hier links) vorgegebenen Muster anmalen (Abbildungen rechts).


Anzahl der periodischen Lösungen im Vergleich:

Rechteck: Seiten a und b; Zylinder: Umfang a, Höhe b; Ebene: Perioden a und b.
a × b 3 × 20 4 × 15 5 × 12 6 × 10 10 × 6 12 × 5 15 × 4 20 × 3
Rechteck 2 368 1010 2339 2339 1010 368 2
Zylinder 281728 628610 1844817 576619 28996 8272 901 2
Ebene 160768 492705 1018426 896078 896078 1018426 492705 160768

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Pentominos in der Spieledatenbank Luding
  2. Die Pentomino-Werkstatt bei Spektrum der Wissenschaft
  3. Vgl. Gerard’s Polyomino Solution Page, Nr. 37.1–37.12 (Triplications).
  4. Hilarie K. Orman: Pentominoes: A First Player Win (PDF; 131 kB). In: Richard J. Nowakowski (Hrsg.): Games of no chance: combinatorial games at MSRI, 1994. Cambridge University Press, Cambridge 1996, ISBN 0-521-57411-0

Literatur[Bearbeiten]

  • Günter Albrecht-Bühler: Die Pentomino-Werkstatt. Ein Kochbuch neuer geometrischer Muster für logische Denker und Rätselfreunde. Fischer-Taschenbuch-Verlag, Frankfurt am Main 1992, ISBN 3-596-10487-4, (Fischer 10487 Fischer-Logo).
  • Blue Balliet: Das Pentomino-Orakel.
  • Jack Botermanns, Jerry Slocum: Geduldsspiele der Welt. Wie man sie baut und wie man sie löst. Hugendubel, München 1987, ISBN 3-88034-336-5.
  • Pieter van Delft, Jack Botermanns: Denkspiele der Welt. Puzzles, Knobeleien, Geschicklichkeitsspiele, Vexiere. Deutsche Bearbeitung von Eugen Oker. 2. Auflage. Hugendubel, München 1981, ISBN 3-88034-087-0.
  • Solomon W. Golomb: Polyominoes. Puzzles, Patterns, Problems and Packings. Princeton University Press, Princeton NJ 1994, ISBN 0-691-08573-0.
  • Maria Koth, Notburga Grosser: Das Pentomino-Buch. Denkspielspaß für Kinder von 9 bis 99. Kopiervorlagen Mathematik. Aulis-Verlag Deubner, Köln 2004, ISBN 3-7614-2543-0.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Pentomino – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien