Pfadintegral

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Das Pfadintegral ist ein spezielles, in der Physik vielfach benutztes Funktionalintegral, das in der Feynman'schen Formulierung der Quantenmechanik auftritt, in der Quantenfeldtheorie bei der Berechnung „erzeugender Funktionen“ vorkommt und in der Statistischen Physik bei der Berechnung von „Zustandssummen“ (Partition functionals) und thermischer Mittelwerte benutzt wird. Eine saubere mathematische Begründung fehlt derzeit noch.

Erstes Beispiel

Das Pfadintegral, meist $\mathcal Z$ genannt, besteht - im Gegensatz zur Riemannschen Summenapproximation gewöhnlicher Integrale - aus dem Grenzwert eines Produkts unendlich vieler, nacheinander auszuführender ein- oder mehrdimensionaler Integrale, mathematisch etwa geschrieben als: $\mathcal{Z}[\phi ]=\int \mathcal{D}\Phi\,e^{-\beta\mathcal{H}(\Phi)}.$  Dieses unendliche Produkt ist zwar unter Umständen divergent, aber trotzdem konvergieren in der Regel die logarithmischen Ableitungen, die bei der Berechnung von thermischen oder quantenfeldtheoretischen Erwartungswerten benötigt werden, und verhalten sich additiv. Für diese Erwartungwerte gilt z. B.

$\langle\hat A\rangle =\frac{\int\mathcal{D} \phi\cdot e^{-\beta \mathcal{H}(\phi )} \hat A(\phi)}{\int\mathcal{D}\phi\cdot e^{-\beta \mathcal{H}(\phi )}}$,

was für $\hat A\equiv\mathcal H$ auch als $-{\rm d}\ln\mathcal{Z}/{\rm d}\,\beta = \langle\mathcal{H}\rangle$ geschrieben werden kann. Das macht den Namen „erzeugende Funktion“ verständlich.

Weitere Motivation

In der Quantenmechanik wird in der Feynmanschen Formulierung über alle möglichen Wege zwischen zwei Punkten integriert; es gibt auch eine Verallgemeinerung in der Quantenfeldtheorie, in der über alle Feldkonfigurationen integriert wird. Da hierbei in Funktionenräumen integriert wird, spricht man auch von Funktionalintegral (Functional Integral).

Das Pfadintegral ist zu unterscheiden von dem Kurvenintegral der Funktionentheorie und Vektoranalysis. Die Verwechslungsgefahr rührt vor allem aus dem Englischen, in dem sowohl das Pfad- als auch das Kurvenintegral path integral genannt werden, aber auch im Deutschen wird es bisweilen als Feynmansches Wegintegral oder einfach als Wegintegral bezeichnet. Zur Unterscheidung wird das Pfadintegral im Englischen auch Feynman path integral genannt, nach Richard P. Feynman, der es wiederentdeckte und systematisch untersuchte, nachdem das Konzept selbst von Paul Dirac schon 1934 entwickelt wurde (deutschsprachige Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion Bd.3, 1933, S. 64). Feynman entwickelte daraus in den 1940er Jahren seine neue Begründung der Quantenmechanik.

Die mathematische Präzisierung des Pfadintegrals fällt in die Funktionalanalysis. Das Konvergenzverhalten und die Wohldefiniertheit des Pfadintegrals sind mathematisch noch nicht vollständig erforscht; es kann aber als gesichert gelten, dass die imaginärzeitige Formulierung mit dem Wiener-Maß in vielen Fällen exakt begründet werden kann und dass mit der sog. Wick-Rotation ein exakter Zusammenhang zwischen reell-wertiger und imaginärer Formulierung besteht („Statistische Physik bzw. Quantenfeldtheorie“).

Pfadintegral in der Physik

Die so genannte Pfadintegralmethode wird insbesondere in der Quantenmechanik und in der Quantenfeldtheorie verwendet.

Zweites Beispiel

Die quantenmechanische Amplitude für ein Teilchen in einer Dimension, das sich zum Zeitpunkt $t_a$ bei $x_a$ und zum Zeitpunkt $t_b$ bei $x_b$ befindet, ist gegeben durch

$\langle x_b,t_b|x_a,t_a\rangle = \int\limits_{x_a}^{x_b} \mathcal Dx\; \exp\left( \frac{{\rm i}}{\hbar} \int\limits_{t_a}^{t_b}\mathrm dt\; \mathcal{L}(x,\dot x) \right)$

$:= \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\frac{m}{2\pi {\rm i}\hbar \epsilon}}\int\,\prod\limits_{i=1}^{n-1} \left\{ \frac{\mathrm{d} x_i}{\sqrt{2\pi{\rm i}\hbar\epsilon/m} } \right\} \exp\left( \frac{{\rm i}}{\hbar} \epsilon \sum\limits_{j=1}^{n}\mathcal L(\tilde x_j, \frac{x_j- x_{j-1}}{\epsilon}) \right)$

$:= \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\frac{m}{2\pi {\rm i}\hbar \epsilon}}^{\ n+1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\,d x_1 \ldots \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\,dx_n \ \exp\left( \frac{{\rm i}}{\hbar} \epsilon \sum\limits_{j=1}^{n}\mathcal L(\tilde x_j, \frac{x_j- x_{j-1}}{\epsilon}) \right)$

mit $\epsilon = \frac{t_b-t_a}{n+1}$, wobei $\mathcal{L}(x,\dot x)\,\,( = p\dot x - \mathcal H(p,x))$ die Lagrangefunktion und $\mathcal H$ die Hamiltonfunktion ist, mit $p=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot x}$. Die Variablen $\,x_j$ können als die zum Zeitpunkt $t_j:=t_a+j\cdot \epsilon$ angenommenen Werte interpretiert werden, wobei $\,x_0=x_a$ und $\,x_{n+1}=x_b$ fixiert sind, während die $x_1 \ldots x_n$ durch die n Integrale über alle möglichen Kombinationen hinweg durchlaufen werden. Wenn die Hamiltonfunktion explizit von der Zeit abhängt (z. B. im Wechselwirkungsbild) kann man das durch eine zusätzliche Abhängigkeit $\mathcal L\to \mathcal L(\tilde x_j,\frac{x_j-x_{j-1}}{\epsilon}, j)$ berücksichtigen. $\tilde x_j$ ist ein beliebiger Zwischenwert in dem zu j gehörigen Intervall, z. B. dessen Mittelpunkt, $\frac{x_j+x_{j-1}}{2}\,.$

Schluss

In der klassischen Physik kann man die Bewegung von Teilchen (und zum Beispiel Lichtstrahlen) zwischen zwei Punkten A, B in Raum und Zeit mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung (Hamiltonsches Prinzip) im Rahmen der Variationsrechnung berechnen. Die Wirkung ist das zeitliche Integral der Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie (Lagrangefunktion) von Startzeitpunkt, an dem sich das Teilchen in A befindet, bis zum Endzeitpunkt, an dem sich das Teilchen in B befindet. Nach dem Hamiltonschen Prinzip ist die Wirkung für den gewählten Weg ein Extremum, ihre Variation verschwindet. Für ein freies Teilchen ohne Potential ergibt sich eine Bewegung auf einer Geraden von einem Punkt A zu einem Punkt B. Ein Beispiel, in dem der Weg keine Gerade mehr ist, ist der eines Lichtstrahls, der Medien unterschiedlicher optischer Dichte passiert (was sich mit Hilfe eines Potentials in der Lagrangefunktion beschreiben lässt), hier ist der günstigste Weg (optischer Weg) keine Gerade mehr: es kommt zur Brechung des Lichtstrahls. Soweit die klassische Physik!

In der Quantenmechanik ist es komplizierter: Mit einem Pfadintegral integriert man hier nicht nur über den extremalen Pfad, sondern über alle möglichen Pfade, auf denen das Teilchen von A nach B gelangen könnte, und gewichtet die Pfade dabei mit einem „Phasenfaktor" proportional zur Exponentialfunktion des imaginär gemachten und durch das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum geteilte Wirkungsfunktionals. Man nennt das auch Summe aller Pfade, weil hierbei über alle Pfade integriert wird, wenn auch mit unterschiedlichem Gewicht. Die Amplitude ist bei jedem Pfad gleich, aber die Phase, die von der jeweiligen Wirkung bestimmt wird, ist unterschiedlich. Der klassische Pfad zeichnet sich dadurch aus, dass bei ihm die Variation der Wirkung nach dem Hamiltonschen Prinzip verschwindet. Pfade in der Umgebung tragen also in etwa mit gleicher Phase bei, was zu konstruktiver Interferenz führt. Bei weiter entfernt liegenden Pfaden oszilliert der Integrand bei Wirkungen, die groß gegen das Plancksche Wirkungsquantum sind (klassischer Grenzfall), dagegen so schnell, dass sich die Beiträge dieser Wege gegenseitig aufheben. Sind die Wirkungen dagegen wie bei typischen quantenmechanischen Systemen in der Größenordnung des Planckschen Wirkungsquantums, tragen auch Pfade neben dem klassischen Pfad zum Wegintegral bei.

Bücher

• Hagen Kleinert Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und Polymerphysik", Spektrum Akademischer Verlag 1993 (vergriffen, online lesbar hier). Neuste englische Auflage: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006) (auch online verfügbar)
• Gert Roepstorff Pfadintegrale in der Quantenphysik, Vieweg 1991, 1997 (englische Übersetzung: Path integral approach to quantum physics – an introduction, Springer 1996)
• Feynman Richard P., Hibbs Albert R., Styer Daniel F. Quantum Mechanics and Path Integrals, Amended Edition 2005, Dover Publications, 2010.