Pfaffsche Determinante

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In der Mathematik kann die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix immer als das Quadrat eines Polynoms der Matrixeinträge geschrieben werden. Dieses Polynom wird die pfaffsche Determinante der Matrix genannt. Die pfaffsche Determinante ist nur für schiefsymmetrische 2n \times 2n-Matrizen nichtverschwindend. In diesem Fall ist sie ein Polynom vom Grad n.

Beispiele[Bearbeiten]

\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0     & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b &  -d & 0& f    \\-c &  -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix}
\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

Formale Definition[Bearbeiten]

Sei \Pi die Menge aller Partitionen von {1, 2, \ldots, 2n} in Paare. Es gibt (2n − 1)!! solcher Partitionen. Jedes Element \alpha \in \Pi kann in eindeutiger Weise als

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

geschrieben werden mit i_k < j_k und i_1 < i_2 < \ldots < i_n. Sei

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

die korrespondierende Permutation und sei sgn(α) die Signatur von π.

Sei A = {aij} eine schiefsymmetrische 2n×2n-Matrix. Für jede wie oben geschriebene Partition α setze

 A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Die pfaffsche Determinante A ist dann definiert als

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Ist m ungerade, so wird die pfaffsche Determinante einer schiefsymmetrischen m×m-Matrix als Null definiert.

Alternative Definition[Bearbeiten]

Man kann zu jeder schiefsymmetrischen (2n \times 2n)-Matrix A ={aij} einen Bivektor assoziieren:

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.

wobei {e1, e2, …, e2n} die Standardbasis für R2n ist. Die pfaffsche Determinante ist definiert durch

\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},

hierbei bezeichnet ωn das Keilprodukt von n Kopien von ω mit sich selbst.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für eine schiefsymmetrische 2n×2n-Matrix A und eine beliebige 2n×2n-Matrix B gilt

  • \mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)
  • \mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)
  • Für eine blockdiagonale Matrix
A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}
gilt Pf(A1A2) = Pf(A1)Pf(A2).
  • Für eine beliebige n×n-Matrix M gilt:
\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.

Anwendungen[Bearbeiten]

Die pfaffsche Determinante ist ein invariantes Polynom einer schiefsymmetrischen Matrix (Hinweis: Sie ist nicht invariant unter allgemeinen Basiswechseln, sondern nur unter orthogonalen Transformationen). Als solche ist sie wichtig für die Theorie der charakteristischen Klassen. Sie kann insbesondere benutzt werden, um die Eulerklasse einer riemannschen Mannigfaltigkeit zu definieren. Diese wird in dem Satz von Gauß-Bonnet benutzt.

Die Anzahl der perfekten Paarungen in einem planaren Graphen ist gleich dem Absolutwert einer geeigneten pfaffschen Determinante, welche in polynomialer Zeit berechenbar ist. Dies ist insbesondere deshalb überraschend, weil das Problem für allgemeine Graphen sehr schwer ist (Sharp-P-Vollständig). Das Ergebnis wird in der Physik benutzt, um die Zustandssumme des Ising-Modells von Spingläsern zu berechnen. Dabei ist der zugrundeliegende Graph planar. Vor kurzem wurde sie auch benutzt, um effiziente Algorithmen für sonst anscheinend unlösbare Probleme zu entwickeln. Dazu zählt die effiziente Simulation von bestimmten Typen der Quanten-Berechnungen.

Geschichte[Bearbeiten]

Der Begriff pfaffsche Determinante wurde von Arthur Cayley geprägt, der ihn 1852 benutzte: "The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term Pfaffians." Dies geschah zu Ehren des deutschen Mathematikers Johann Friedrich Pfaff.

Weblinks[Bearbeiten]