Phasengeschwindigkeit

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Der rote Punkt ist immer am Punkt gleicher Phase (Wellenberg) und bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit der blauen, monochromatischen Welle.
Ein Wellenpaket breitet sich in einem nicht-dispersiven Medium aus (z. B. eine elektromagnetische Welle im Vakuum).
Ein Wellenpaket breitet sich in einem dispersiven Medium aus.

Die Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen einer monochromatischen Welle.[1] Im Falle von dispersiven Medien breiten sich monochromatische Wellen unterschiedlicher Frequenz mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten aus. Betrachtet man Wellenpakete (Wellen, die eine Summe von Komponenten, d. h. monochromatischen Wellen sind) in dispersiven Medien, so verändern sich die Phasendifferenzen einzelner Komponenten zeitlich und die Form des Wellenpaktes ändert sich (es „zerfließt“). In der obersten Abbildung bewegt sich der rote Punkt mit der Phasengeschwindigkeit, in der zweiten Abbildung ist ein Wellenpaket gezeigt, dessen Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten ist. In der dritten Abbildung sind die Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten unterschiedlich.

Die Phasengeschwindigkeit v_\mathrm{p} berechnet sich aus der Wellenlänge \lambda\, (die Strecke die zurückgelegt wird) und der Periodendauer T\, (die Zeit, die dafür benötigt wird) zu


v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T}.

Aufgrund der Definitionen von Frequenz f\,, Kreisfrequenz \omega\, und Kreiswellenzahl k\, ergibt sich die äquivalente Darstellung


v_\mathrm{p} = \lambda \cdot f = \frac{\omega}{k}.

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die Obergrenze für die Übertragungsgeschwindigkeit von Energie und Information. Jedoch gibt es zahlreiche Fälle, in denen Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit auftreten. Beispiele sind Materiewellen und Wellen in Hohlleitern.

Zusammenhang mit Gruppengeschwindigkeit und Dispersion[Bearbeiten]

Bezeichnung Symbol Beziehungen
Amplitude \mathbf A_0
\mathbf A_0\perp\mathbf k Transversalwelle
\mathbf A_0\|\mathbf k Longitudinalwelle
Wellenvektor \mathbf k Ausbreitungsrichtung
Kreiswellenzahl k\, k=|\mathbf k|
Wellenlänge \mathbf\lambda \mathbf\lambda= 2\mathbf\pi/k
Kreisfrequenz \mathbf\omega \mathbf\omega\left(\mathbf k\right) Dispersionsrelation
Frequenz f f=\mathbf\omega/2\mathbf\pi
Phasengeschwindigkeit v_\mathrm{p} v_\mathrm{p} = \mathbf\omega/k=\mathbf\lambda f
Gruppengeschwindigkeit v_\mathrm{g} v_\mathrm{g} = \partial\mathbf\omega/\partial\mathbf k
Phasenwinkel \varphi \varphi=\mathbf k\cdot \mathbf r-\omega t

Zur mathematischen Beschreibung einer Welle in einem speziellen Medium benötigt man ihre Wellenform, Amplitude, Frequenz, Phasenwinkel und die zugehörige Wellengleichung - gegebenenfalls mit Randbedingungen. Einer so eindeutig definierten Welle können trotzdem verschiedene Geschwindigkeiten zugeordnet werden, die nicht mit der Phasengeschwindigkeit verwechselt werden sollten.

Die Geschwindigkeit mit der eine Welle Energie oder Informationen überträgt ist die Signalgeschwindigkeit. Diese ist für ein verlustfreies Medium gleich der Gruppengeschwindigkeit, also der Geschwindigkeit eines Wellenpaketes. Ein solches Wellenpaket ist aus monochromatischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen f zusammengesetzt. Jede dieser monochromatischen Wellen hat eine eigene Phasengeschwindigkeit:

v_\mathrm{p} = v_\mathrm{p}(f).

Der funktionale Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit und Frequenz wird als Dispersion bezeichnet.

Für elektromagnetische Wellen ist die Phasengeschwindigkeit c_\mathrm{p} und die Gruppengeschwindigkeit c_\mathrm{g} im Vakuum gleich der Lichtgeschwindigkeit c, d.h. das Vakuum ist nicht dispersiv. In Materie ist die Phasengeschwindigkeit dagegen im Allgemeinen abhängig von der Frequenz. Aufgrund der Beziehung für den Brechungsindex n = c / c_\mathrm{p} wird hier die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex n(f) als Dispersion bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

Körperschall[Bearbeiten]

Lambmoden für zwei verschiedene Materialien mit Poissonzahl
\sigma = 0{,}34 (z. B. Titan) und \sigma = 0{,}27 (z. B. Stahl)

In Festkörpern können sich Schallwellen als Körperschall ausbreiten. Die Phasengeschwindigkeiten sind dabei je nach Wellentyp verschieden. Beispielsweise beträgt die Phasengeschwindigkeit der Longitudinalwelle bei Raumtemperatur in Edelstahl etwa 5980 m/s; die Phasengeschwindigkeit der Transversalwelle ist um etwa den Faktor 1,8 kleiner: ca 3300 m/s. In dünnen Platten existieren noch weitere, kompliziertere Wellentypen, sogenannte Lambwellen. Im nebenstehenden Bild entspricht jeder Ast einem Lambwellentyp (Mode). Vertikal ist die Phasengeschwindigkeit v in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit v_s dargestellt, horizontal die Frequenz als Produkt von Kreisfrequenz \omega und Plattendicke d in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit. Die höheren Moden S_1,A_1,S_2,A_2,\dots existieren erst ab bestimmten Mindestfrequenzen und breiten sich dann mit sehr hohen Phasengeschwindigkeiten aus. Die A_0-Mode hat für kleine Frequenzen eine verschwindende Phasengeschwindigkeit.

Materiewelle[Bearbeiten]

Gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus kann man einem Teilchen, z. B. einem Elektron mit der Energie E und dem Impuls p, eine Wellenlänge \lambda zuordnen und somit eine Phasengeschwindigkeit

v_p=f\lambda=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}.

Mit Einsteins Formel

E=mc^2

oder in der Formulierung mit dem Lorentzfaktor \gamma

E=m_0\gamma c^2

und der Definition des relativistischen Impulses p=m_0\gamma v folgt

v_p=\frac{m_0\gamma c^2}{m_0\gamma v}=\frac{c^2}{v}.

Hier ist c die Lichtgeschwindigkeit, die höchste Geschwindigkeit, mit der sich Energie oder Informationen ausbreiten können. v ist die Teilchengeschwindigkeit, die immer kleiner als c ist. Daher ist

v_p>c.

Die de Broglie-Phasengeschwindigkeit ist also immer größer als die Lichtgeschwindigkeit.[2] Diese sog. superluminale Geschwindigkeit von Materiewellen widerspricht nicht der Relativitätstheorie, da die Signalgeschwindigkeit v ist.

Hohlleiter[Bearbeiten]

Auch elektromagnetische Wellen in normalen, zur Leistungsübertragung genutzten Hohlleitern bewegen sich mit Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit.[3] Im Wanderwellenbeschleuniger muss die Phasengeschwindigkeit künstlich durch regelmäßig angeordnete leitfähige Blenden auf Werte unterhalb der Lichtgeschwindigkeit verringert werden.

Literatur[Bearbeiten]

DIN 1311, Blatt 1: Schwingungen und schwingungsfähige Systeme. Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung. Ausgabe 2000–02.

Weblinks[Bearbeiten]

Java-Animation, welche die Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit veranschaulicht

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Dietrich Pelte (Hrsg.): Paul A. Tipler, Gene Mosca. Für Wissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage. Spektrum akademischer Verlag, 2007, ISBN 978-3-8274-1164-8.
  2.  Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3. Atome, Molekule Und Festkörper. Springer DE, 2010, ISBN 978-3-642-03911-9, S. 97 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3.  Peter Schmüser: Theoretische Physik Für Studierende Des Lehramts 1: Quantenmechanik. Springer DE, 2012, ISBN 978-3-642-25395-9, S. 125 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).