Pisot-Zahl

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Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl \alpha > 1, für die gilt, dass ihre Konjugierten \alpha_2, …, \alpha_d ohne \alpha selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von \alpha) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: \rho = \max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} < 1. Mit „=“ statt „<“, also \max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} = 1, erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Potenzen \alpha^k einer Pisot-Zahl \alpha liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:

\min\bigl\{|\alpha^k - z|\,\big|\,z\in\mathbb{Z}\bigr\} \le (d-1) \rho^k

Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen |\varepsilon_n\,\alpha^n + \varepsilon_{n-1}\,\alpha^{n-1} + \ldots + \varepsilon_1\,\alpha + \varepsilon_0| mit n = 0, 1, 2, … und \varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_n \in \{-1, 0, +1\} diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein \alpha > 1, das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.

Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen \beta_n der algebraischen Gleichungen

x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots-1 = 0,

für n = 2, 3, …, eine Folge mit \beta_n \to 2. Insbesondere ist die Goldene Zahl

\Phi = \beta_2 = 1,61803 39887 49894 84820 …[1]

eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind

\theta_1 = 1,32471 79572 44746 02596 …,[2]

die reelle Lösung von x^3 - x - 1=0, und

\theta_2 = 1,38027 75690 97614 11567 …,[3]

die positive reelle Lösung von x^4 - x^3 - 1=0.

Anwendungen[Bearbeiten]

Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Folge A001622 in OEIS
  2. Folge A060006 in OEIS
  3. Folge A086106 in OEIS
  4. siehe auch Michel Mendès-France: Book Review, Bulletin of the AMS 29, 1993, S. 274–278