Plancksches Wirkungsquantum

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Physikalische Konstante
Name Plancksches Wirkungsquantum
Formelzeichen h\,
Größenart Wirkung
Wert
SI 6{,}626\,069\,57 \cdot 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}
Unsicherheit (rel.) 4{,}4 \cdot 10^{-8}
Gauß 6{,}626\,069\,57 \cdot 10^{-27} \mathrm{erg \cdot s}
Natürliche E. 4{,}135\,667\,516 \cdot 10^{-15} \mathrm{eV \cdot s}
Planck 2\pi\,
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010 (NIST)

Das Plancksche Wirkungsquantum, oder die Planck-Konstante h , ist das Verhältnis von Energie (E) und Frequenz (f) eines Photons , entsprechend der Formel E = h \cdot f. Die gleiche Beziehung gilt allgemein zwischen der Energie eines Teilchens oder physikalischen Systems und der Frequenz seiner quantenmechanischen Phase.

Die Entdeckung des Wirkungsquantums durch Max Planck in den Jahren 1899[1] und 1900[2][3] begründete die Quantenphysik. Das Wirkungsquantum verknüpft Eigenschaften, die vorher in der klassischen Physik entweder nur Teilchen oder nur Wellen zugeschrieben wurden. Damit ist es die Basis des Welle-Teilchen-Dualismus der modernen Physik.

Das Wirkungsquantum h ist neben der Gravitationskonstante G und der Lichtgeschwindigkeit c die dritte der fundamentalen Naturkonstanten der Physik. Zusammen bilden sie die Grundlage des natürlichen Einheitensystems der Planck-Einheiten.[1]

Planck gab der von ihm entdeckten Konstante den Namen „elementares Wirkungsquantum“, weil sie bei „elementaren Schwingungsvorgängen“ eine entscheidende Rolle spielt und sich gemäß der Definition (s.o.) als Quotient einer Energie und einer Frequenz ergibt, weshalb sie die gleiche Dimension hat wie die physikalische Größe Wirkung.[4][5]

Definition[Bearbeiten]

Das Plancksche Wirkungsquantum \,h ist für jedes physikalische System, das harmonisch schwingen kann, das konstante Verhältnis des kleinstmöglichen Energieumsatzes zur Schwingungsfrequenz. In der Quantenmechanik gilt dies für jedes physikalische System in Bezug auf seinen gesamten Energieinhalt und die Frequenz seiner quantenmechanischen Phase.

Das Plancksche Wirkungsquantum hat die Dimension von Energie mal Zeit, die Wirkung genannt wird. Es erhält seine universelle Bedeutung durch sein Auftreten in den Grundgleichungen der Quantenphysik (Schrödinger-Gleichung, Heisenbergsche Bewegungsgleichung, Dirac-Gleichung). Einige allgemeingültige Folgen:

  • Jede harmonische Schwingung (mit Frequenz f, Kreisfrequenz \omega = 2 \pi f) kann Energie nur in diskreten Beträgen aufnehmen oder abgeben, die ganzzahlige Vielfache des Schwingungsquants \Delta E = h f \equiv \hbar \omega sind.
  • Jedes physikalische System kann seinen Drehimpuls(*) J nur um ganzzahlige Vielfache von \hbar \equiv \tfrac{h}{2\pi} ändern.
(*) Genauer: die Projektion des Drehimpulsvektors \vec J auf eine beliebige Gerade
  • Jedem physikalischen System mit Impuls p ist eine Materiewelle mit der Wellenlänge \lambda = \tfrac{h}{p} zugeordnet.
  • Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie E und Kreisfrequenz \omega seiner quantenmechanischen Phase die Gleichung \, E = \hbar \omega.
  • Je zwei Variablen eines physikalischen Systems, die zueinander kanonisch konjugiert sind (z. B. Ort x und Impuls p eines Teilchens, oder verallgemeinerter Ort und verallgemeinerter Impuls, z. B. Drehwinkel und Drehimpuls), erfüllen eine Unschärferelation, der zufolge sie in keinem Zustand des Systems beide gleichzeitig wohldefinierte Werte besitzen können. Vielmehr gilt für die Streuungen \sigma_x,\, \sigma_p der Werte beider Variablen: \sigma_x\cdot\sigma_p\ge\tfrac{\hbar}{2}.

Werte[Bearbeiten]

Werte von h [6] Standardabweichung Einheiten
6,626 069 57 · 10–34 0,000 000 29 · 10–34 Joulesekunde
4,135 667 516 · 10–15 0,000 000 091 · 10–15 eV·s
6,626 069 57 · 10–27 0,000 000 29 · 10–27 erg·s
Werte von ħ
1,054 571 726 · 10–34 0,000 000 047 · 10–34 J·s
6,582 119 28 · 10–16 0,000 000 15 · 10–16 eV·s
1,054 571 726 · 10–27 0,000 000 47 · 10–27 erg·s

Der Wert von h beträgt[7][8]

  
   \begin{align}
        h &= 6{,}626\,069\,57(29) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} \\
           &= 4{,}135\,667\,516(91) \cdot 10^{-15}\,\rm{eVs}
    \end{align}

wobei die eingeklammerten Zahlen die geschätzte Unsicherheit (1 Standardabweichung) für den Mittelwert angeben und sich auf die beiden letzten angegebenen Dezimalziffern beziehen.

Weil Schwingungen statt als Frequenz oft als Kreisfrequenz ausgedrückt werden, wird statt h auch das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum \hbar (sprich „h quer”, früher auch nach Paul Dirac als „Diracsche Konstante“[9] bezeichnet) verwendet. Da eine Schwingungsperiode einem Phasenwinkel von 2\pi entspricht, unterscheidet sich die Kreisfrequenz von der Frequenz durch den Faktor 2\pi. Das reduzierte Wirkungsquantum ist daher gleich dem Wirkungsquantum geteilt durch 2\pi:

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}T.

Die Energie eines Photons mit der Kreisfrequenz ω ist dadurch

E = \hbar \omega.

In der Quantenmechanik ist \hbar das Quant des Drehimpulses.[10][11]


   \begin{align}
       \hbar &= \frac{h}{2\pi}\\
                &= 1{,}054\,571\,726(47) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s}\\
                &= 6{,}582\,119\,28(15) \cdot 10^{-16}\,\rm{eVs}
   \end{align}

Oft wird das Produkt \hbar c mit der Lichtgeschwindigkeit c benötigt, das wegen seiner Dimension Energie mal Länge einen universellen Zusammenhang zwischen Energie- und Längenskala ausdrückt.[12] In den in der Kernphysik üblichen Einheiten gilt:[13]

\hbar c = 197{,}326\,9718(44) \,\,\rm{MeVfm}

In Unicode liegen die Symbole für das Plancksche Wirkungsquantum und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum auf Position U+210E (ℎ) bzw. U+210F (ℏ).

Historisches zur Entdeckung und Rezeption[14][Bearbeiten]

Wärmestrahlung I (Planck 1899)[Bearbeiten]

Max Planck war 1899 auf eine neue Naturkonstante gestoßen, als er eine thermodynamische Beschreibung der Wärmestrahlung schwarzer Körper, auch Hohlraumstrahlung genannt, entwickelte. Als herausragendes ungelöstes Problem der theoretischen Physik galt damals die Form des abgestrahlten Spektrums und seine Veränderung bei Temperaturerhöhung, sichtbar etwa beim Übergang von Rotglut zu Weißglut. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz sollten das Spektrum und seine Temperaturabhängigkeit für alle schwarzen Körper, völlig unabhängig von ihrer sonstigen Beschaffenheit, exakt gleich sein.

Im kurzwelligen Bereich zeigten die Messwerte eine charakteristische Abnahme zu höheren Frequenzen hin, die in dem von Wilhelm Wien gefundenen Wienschen Strahlungsgesetz gut durch einen Exponentialfaktor e^{-\tfrac{af}{T}} wiedergegeben werden (f Frequenz, T Temperatur, a ein fester Parameter). Planck konnte diese Formel theoretisch begründen.[15] Dazu analysierte er das thermische Gleichgewicht zwischen den elektromagnetischen Wellen im Innern eines Hohlraums und den als Modell angenommenen emittierenden und absorbierenden Oszillatoren in seinen Wänden. Er stützte sich auf den Entropiebegriff und wählte für die Entropie eines Oszillators einen geeigneten Ansatz mit zwei Parametern a und b, denen aufgrund dieser allgemeingültigen Ableitung nun eine universelle Bedeutung zukam. a erwies sich als der Parameter im Wienschen Strahlungsgesetz, b als Produkt von a mit der Boltzmann-Konstante k_{\mathrm{B}}. Planck gab seinen Wert mit b=6{,}885\cdot10^{-27}\,\mathrm{erg\,s} an, nur 4 % über dem heutigen Wert für h. Planck erkannte auch, dass diese neuen Konstanten zusammen mit der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit ein System von universellen Naturkonstanten bilden, aus denen sich auch für Länge, Masse, Zeit und Temperatur universelle Einheiten bilden lassen, die Planck-Einheiten.

Wärmestrahlung II (Planck 1900)[Bearbeiten]

Neue Messungen im langwelligen (infraroten) Teil der Wärmestrahlung widersprachen dem Wienschen Strahlungsgesetz, damit auch seiner von Planck gefundenen Deutung. Sie zeigten eine zunehmende Intensität zu größeren Frequenzen, die sich gut durch das Rayleigh-Jeans-Gesetz wiedergeben ließ, das zudem den Vorzug hatte, dass es ohne weitere Annahmen aus der klassischen Elektrodynamik und dem Gleichverteilungssatz der Statistischen Mechanik abgeleitet werden konnte. Allerdings sagte dieses Gesetz eine mit steigender Frequenz unbegrenzte Zunahme der Intensität voraus, was der Realität widerspricht und als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wird. Planck fand (wörtlich) „eine glücklich erratene interpolierende Formel“, die nun mit allen (auch erst neu angestellten) Messungen hervorragend übereinstimmte. Theoretisch herleiten konnte er dieses als Plancksches Strahlungsgesetz bezeichnete Ergebnis nur, indem er versuchsweise den Exponentialfaktor des Wienschen Gesetzes wie den aus der kinetischen Gastheorie bekannten Boltzmann-Faktor e^{-\tfrac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}} T}} interpretierte und darin für \Delta E die je nach Frequenz f verschiedenen diskreten Energiestufen \Delta E = h f ansetzte. Den Buchstaben h nahm er von Hilfsgröße. Der Vergleich mit der Wienschen Formel zeigte, dass es sich bei h gerade um das erwähnte Produkt :b=a k_{\mathrm{B}} handelt.[16]

Die Vorstellung, dass es eine Quantelung scheinbar kontinuierlicher Größen geben könne, war der Physik damals, als auch die Atomhypothese noch heftig angefeindet wurde, völlig fremd. Doch alle Versuche, eine theoretische Herleitung ohne die Annahme diskreter Energieumsätze zu finden, schlugen fehl. Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter des Energieaustausches zunächst nicht für eine Eigenschaft der vermeintlich gut verstandenen Lichtwellen, sondern schrieb ihn ausschließlich den Emissions- und Absorptionsprozessen im Material der Hohlraumwände zu. Mit großer Verspätung wurde ihm 1918 für die Entdeckung der Quantisierung der Nobelpreis zuerkannt.

h und die Lichtquanten[Bearbeiten]

Albert Einstein, einer der wenigen Physiker, die die fundamentale Bedeutung von Plancks Arbeit früh erkannten, analysierte 1905 den mit der klassischen Physik unvereinbaren photoelektrischen Effekt und konnte ihn mithilfe der Lichtquantenhypothese erklären, der zufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht, im Gegensatz zu Plancks Ansicht, die elektromagnetische Strahlung selbst aus teilchenartigen Objekten, den Lichtquanten, deren Energie je nach Frequenz  \!\ f der Lichtwelle durch die Gleichung  \!\ E = h f gegeben ist.[17] Später wurde diese Gleichung die Einsteinsche Gleichung für das Lichtquant genannt. Damit führte er als neues Problem den Welle-Teilchen-Dualismus in die Physik ein. Nicht zuletzt deshalb brauchte auch diese Analyse Jahre, um sich durchzusetzen. 1921 brachte sie Einstein den Nobelpreis ein.

h und die spezifische Wärme fester Körper[Bearbeiten]

Die Quantisierung der Schwingungsenergie war für Albert Einstein 1907 auch der Schlüssel zur Erklärung eines weiteren unverstandenen Phänomens, der Abnahme der spezifischen Wärme fester Körper zu niedrigen Temperaturen hin. Bei höheren Temperaturen stimmten die Messwerte meist gut mit dem von Dulong-Petit nach der klassischen Physik vorhergesagten Wert überein. Einstein nahm an, dass die Wärmeenergie im festen Körper in Form von Schwingungen der Atome um ihre Ruhelage vorliegt, und dass auch diese rein mechanische Art von Schwingungen nur in Energiestufen  \!\Delta E = h f angeregt werden können. Da die im thermischen Gleichgewicht zwischen den einzelnen Atomen fluktuierenden Energiemengen von der Größenordnung \, k_{\mathrm{B}} T sind, ergab sich die Möglichkeit, zwischen „hohen“ Temperaturen ( k_{\mathrm{B}} T > h f ) und „tiefen“ Temperaturen ( k_{\mathrm{B}} T < h f ) zu unterscheiden. Dann hat die Quantelung bei hohen Temperaturen keine sichtbaren Auswirkungen, während sie bei tiefen Temperaturen die Aufnahme von Wärmeenergie behindert. Die Formel, die Einstein aus dieser Vorstellung heraus ableiten konnte, passte (nach geeigneter Festlegung von  \,f ) ausgezeichnet zu den damaligen gemessenen Daten. Trotzdem wurde lange weiter bezweifelt, dass die Plancksche Konstante im Bereich der Mechanik wichtig sein könnte.

h und die Phasenraumzelle[Bearbeiten]

Viele Gesetze der Thermodynamik, z. B. zur spezifischen Wärme von Gasen und Festkörpern, aber auch zum irreversiblen Anwachsen der Entropie und zur Form des dadurch erreichten Gleichgewichtszustands, hatten durch die Statistische Mechanik (vor allem durch Ludwig Boltzmann und Josiah Willard Gibbs) eine mechanische Deutung erfahren. Sie gründet in der Annahme der ungeordneten Bewegung extrem vieler Atome bzw. Moleküle und ermittelt mit statistischen Methoden die wahrscheinlichsten Werte von makroskopisch messbaren Größen (wie Dichte, Druck usw.), um den Gleichgewichtszustand zu charakterisieren. Dazu muss zunächst die Gesamtmenge aller möglichen Zustände aller Teilchen mathematisch erfasst werden in einem Zustands- oder Phasenraum. Legt man einen bestimmten makroskopischen Zustand fest, dann bilden alle Teilchenzustände, in denen das System diesen makroskopischen Zustand zeigt, im Phasenraum ein Teilvolumen. Aus der Größe jedes solchen Teilvolumens wird ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der betreffende makroskopische Zustand vorkommen wird. Mathematisch ist also ein Volumenintegral zu bilden, und dazu braucht man vorübergehend und als Hilfsgröße die Definition eines Volumenelements, auch Phasenraumzelle genannt. Im Endergebnis aber soll die Phasenraumzelle nicht mehr auftauchen. Wenn möglich, lässt man ihre Größe in der erhaltenen Formel gegen Null schrumpfen (wie differentielle Größen generell in der Infinitesimalrechnung), wenn nicht, sieht man sie als unerwünschten Parameter an (der z. B. eine unbekannte additive Konstante bestimmt) und versucht, nur solche Schlussfolgerungen zu betrachten, die von der Phasenraumzelle unabhängig sind (z. B. Differenzen, in denen sich die Konstante weghebt). Berechnet man auf diese Weise die Entropie eines Gases, heißt die Konstante chemische Konstante. Otto Sackur bemerkte 1913 zu seiner Überraschung, dass man der Phasenraumzelle eine bestimmte Größe geben muss, damit die chemische Konstante mit den Messwerten übereinstimmt. Die Phasenraumzelle (pro Teilchen und pro Raumdimension seiner Bewegung) muss gerade die Größe h haben. Seiner Veröffentlichung[18] gab er den Titel „Die universelle Bedeutung des sog. Planckschen Wirkungsquantums“, und Max Planck nannte es von „fundamentaler Bedeutung“, wenn sich die gewagte Hypothese bewahrheiten würde, dass dies Ergebnis unabhängig von der Art des Gases gilt.[19] Dies war der Fall.

Fundamental an diesem Ergebnis ist insbesondere, dass sich hier ein tiefer Grund für das Phänomen der Quantisierung zu zeigen beginnt, der in vollem Umfang allerdings erst Jahre später mit der Quantenstatistik der Strahlung klar wurde. Die gleiche Größe der Phasenraumzelle pro Zustand kann man nämlich aus der Einsteinschen Formel  \!\ E = h f für das Lichtquant herauslesen. Die für die Größe der Phasenraumzelle maßgebliche physikalische Größe ist hier die Wirkung, bei einer Schwingung ist die Wirkung das Produkt aus Energie und Periode:  \!\ E \cdot \tfrac{1}{f}= h .

h und die Größe der Atome[Bearbeiten]

Die klassische Physik muss bei der Erklärung der stabilen Größe der Atome versagen. Denn wenn sie eine bestimmte Größe erklären könnte, wäre ein z. B. halb so großes Atom dann nach denselben Gesetzen genau so gut möglich. Anders ausgedrückt: Die Grundformeln der klassischen Physik enthalten nicht genügend Naturkonstanten, als dass man aus ihnen eine Formel für eine bestimmte Länge gewinnen könnte. Das Wirkungsquantum kann diese Lücke schließen, wie schon Planck selber 1899 bemerkte, als er erstmals die Planckschen Einheiten vorstellte (s. o.). Doch weil das Wirkungsquantum nach überwiegender Meinung nicht in die Mechanik eingeführt werden sollte, kam der erste Versuch, es zur Erklärung des Atomradius zu nutzen, erst 1910 zustande und wurde dann sogar z. T. lächerlich gemacht.[20] Dabei nahm Arthur Erich Haas an, ein Elektron kreise im Feld einer positiven Ladung +e, und setzte die Umlauffrequenz f und die Bindungsenergie E dieses Systems ins Verhältnis E=hf. Daraus ergibt sich ein Radius im Bereich der aus der Chemie und der kinetischen Gastheorie bekannten Atomradien.

Mehr Erfolg hatte 1913 Niels Bohr, der in seinem Atommodell vom gleichen Bild ausging, aber auch Kreisbahnen verschiedener Energie und, vor allem, die Emission von Lichtquanten beim Quantensprung von einer zur anderen Bahn einführte. Die Übereinstimmung mit den gemessenen Wellenlängen, die er allerdings nur durch eine kaum zu begründende Quantenbedingung (E= \tfrac{n}{2}hf mit der neuen Hauptquantenzahl n= 1,\,2,\,3\,\dots) erhielt, machte das Modell schnell berühmt. Die tragende Rolle des Wirkungsquantums beim inneren Aufbau der Atome war bewiesen. Die Quantenbedingung wurde schnell als Drehimpulsquantelung erkannt, denn die Kreisbahn zur Hauptquantenzahl n kann durch die Bedingung definiert werden, dass der Drehimpuls des Elektrons den Wert L=nh/2 \pi hat.

Dieser große Fortschritt machte das Bohrsche Atommodell zum maßgeblichen Ausgangspunkt der weiteren Entwicklungen, obwohl ähnlich große Fortschritte dann jahrelang ausblieben. Insbesondere schlugen die Versuche fehl, Atome mit mehreren Elektronen zu verstehen.

h und die Materiewellen[Bearbeiten]

Der Erfolg des Bohrschen Atommodells seit 1913 verdankte sich zum guten Teil der Quantenbedingung, die von außen hart in die Mechanik eingreift, indem sie dem Elektron nur wenige der mechanisch möglichen Bahnen erlaubt. Aufgrund der anhaltenden Schwierigkeiten mit der weiteren Entwicklung der Atomtheorie wurde nach Möglichkeiten gesucht, die Mechanik selber so umzugestalten, dass sie die Quantenbedingung von vornherein berücksichtigt. Es sollte die bisherige Quantentheorie von einer regelrechten Quantenmechanik abgelöst werden. Den größten Schritt vor dem wirklichen Beginn der Quantenmechanik leistete Louis de Broglie 1924, indem er auch materiellen Teilchen, z. B. Elektronen, Welleneigenschaften zuschrieb. Er übertrug die für Photonen gefundene Beziehung \,p = h/\lambda zwischen Impuls \vec p und Wellenlänge \,\lambda auf die von ihm gedachte Materiewelle des Elektrons. Damit dehnte er den Welle-Teilchen-Dualismus auf Teilchen aus. Als unmittelbarer Erfolg zeigt sich, dass die Bohrsche Kreisbahn zur Hauptquantenzahl n gerade den Umfang \,n\lambda hat, mithin die Materiewelle des Elektrons eine stehende Welle darauf ausbilden kann. Ohne über diese Materiewelle viel sagen zu können, fand Erwin Schrödinger Anfang 1926 eine Formel für die Ausbreitung dieser Welle in einem Kraftfeld, mit der er die Wellenmechanik begründete.[21] Für die stationären Zustände des Wasserstoffatoms konnte er mit dieser Schrödingergleichung ohne zusätzliche Quantenbedingung genau die bekannten Ergebnisse berechnen. Zusätzlich wurden bekannte Fehler des Bohrschen Modells behoben, z. B. dass das Atom flach sei oder dass der Drehimpuls nicht L = 0 \hbar sein könne. Als einzige Naturkonstante tritt in der Schrödingergleichung das Wirkungsquantum \,h auf. Gleiches gilt für die Gleichung, die Werner Heisenberg einige Monate zuvor aus einer „quantentheoretischen Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ gewann,[22] womit er die Matrizenmechanik begründete. Beide Ansätze sind mathematisch äquivalent und werden als Grundgleichungen der eigentlichen Quantenmechanik angesehen. Weiterhin geblieben sind allerdings die Schwierigkeiten, sich ein mit dem Welle-Teilchen-Dualismus verträgliches Bild von den quantenmechanischen Begriffen und Vorgängen zu machen.

Drehimpuls[Bearbeiten]

Plancks Motivation für die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ war zunächst alleine die physikalische Dimension Energie mal Zeit der Konstante. Der klassische mechanische Bahndrehimpuls \vec l = \vec r \times \vec p hat die gleiche Dimension. In dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell des Wasserstoffatoms trat der Bahndrehimpuls des Elektrons als gequantelte Größe in Erscheinung. Er kann dem Betrag nach nur ganzzahlige Vielfache von \hbar annehmen: |\vec l| = l \hbar mit der Drehimpulsquantenzahl \,l. Im Bohrschen Modell kann sie für die Bahnen zur Hauptquantenzahl \,n alle Werte \,l=\,1,\;2,\,...,n haben.

In der Quantenmechanik erfüllt der zu \vec l = \vec r \times \vec p gehörende Operator \hat{ \vec l} = \hat {\vec r }\times \hat {\vec p} des Bahndrehimpulses die drei Vertauschungsrelationen

[\hat l_x,\hat l_y]= i \hbar \hat l_z\qquad (auch für x,y,z, zyklisch vertauscht).

Außerdem gilt (wie in der klassischen Mechanik) für das Skalarprodukt (\hat {\vec l }\cdot \hat {\vec p})=0 (Nulloperator). Daraus ergibt sich allgemein:

  • Die Quantenzahl des Bahndrehimpulses ist eine nicht-negative ganze Zahl: \,l=0,\,1,\;2,\,.... Der Betrag des Drehimpulses \vec{l} ist ein wenig größer als l \hbar:
 |\vec{l}| = \sqrt{l(l+1)}\; \hbar
  • Die Komponente des Drehimpulses entlang einer beliebigen Achse kann jedes ganzzahliges Vielfache m \hbar des Planckschen Wirkungsquantums annehmen, wobei diese magnetische Quantenzahl \,m dem Betrag nach durch \,l beschränkt ist. Es gibt daher \,(2l+1) verschiedene Werte \, m=-l,-l+1, \ldots, l, eine stets ungerade Anzahl.

Nach quantenmechanischer Berechnung kann im Wasserstoffatom zu der Hauptquantenzahl \,n die Bahndrehimpulsquantenzahl \,l die ganzzahligen Werte \,l=\,0,\;1,\,...,(n-1) annehmen, was mit allen Beobachtungen übereinstimmt.

Auch für den Spin (Eigendrehimpuls eines Teilchens um seinem eigenen Schwerpunkt, oft mit \vec s bezeichnet) ist \hbar maßgeblich. Allerdings ist er in Einheiten \tfrac{1}{2}\hbar gequantelt. Der zugehörige Operator \hat{ \vec s} erfüllt dieselben Vertauschungsrelationen wie \hat {\vec l}, aber (\hat {\vec s} \cdot \hat{ \vec p}) ist nicht mehr der Nulloperator. Es folgt, dass die Spinquantenzahl \, s auch halbzahlig sein kann. Für die magnetische Quantenzahl \,m_s sind wieder die Werte \,m_s=-s,-(s-1), \ldots, +s möglich, bei halbzahligem Spin also eine gerade Anzahl. Je nachdem, ob der Spin ganz- oder halbzahlig ist, unterscheidet man in der Physik die beiden grundlegenden Teilchenarten der Bosonen bzw. Fermionen.

Unschärferelation[Bearbeiten]

In der Heisenbergschen Vertauschungsrelation tritt das (reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum als Wert des Kommutators zwischen Orts- und Impulsoperator auf:

 \left[\hat X, \hat P  \right] \;=\; \mathrm{i} \hbar

Als Folge gilt für das Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe die Heisenbergsche Unschärferelation

\Delta x \, \Delta p \; \ge \;  \frac{\hbar}{2}\;.

Von-Klitzing-Konstante[Bearbeiten]

Hauptartikel: Von-Klitzing-Konstante

Die Von-Klitzing-Konstante ist die Größe \tfrac{h}{e^{2}}, die beim Quanten-Hall-Effekt auftritt. Sie hat die von elektrischen Widerständen bekannte Einheit Ohm, ihr Wert ist R_K = 25812{,}807 4434(84) \Omega.[23] Diese Konstante kann extrem genau gemessen werden. Sie könnte analog zur modernen Festlegung der Lichtgeschwindigkeit dazu dienen, die Bestimmung der Planckschen Konstanten h auf sehr genaue Widerstandsmessungen zurückzuführen.

h und die Definition des Kilogramms[Bearbeiten]

Das Bureau International des Poids et Mesures, das für die Definition des Internationalen Einheitensystems (SI-Einheiten) zuständig ist, hat 2010 einen Vorschlag für ein erneuertes Einheitensystems verabschiedet[24], in dem die Definition des Kilogramms auf das Plancksche Wirkumsquantum zurückgeführt wird. Da die Einheit des Wirkumsquantums \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}\mathrm{kg} ist, wird damit zusammen mit der Definition von Meter und Sekunde auch das Kilogramm auf eine physikalische Naturkonstante zurückgeführt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Domenico Giulini: „Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie. online (PDF; 453 kB). In: Herbert Hunziker, Der jugendliche Einstein und Aarau, Birkhäuser 2005, ISBN 3-7643-7444-6.
  • Enrico G. Beltrametti: One Hundred Years of h. Italian Physical Soc., Bologna 2002, ISBN 88-7438-003-8.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Wirkungsquantum – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Max Planck (beachte: a= Boltzmannkonstante (Temp.), b= Wirkumsquantum, f= Gravitationskonstante, c= Lichtgeschwindigkeit): „Über irreversible Strahlungsvorgänge“ - Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899 - Erster Halbband (Berlin: Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss.) Seite 479-480 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin band=10-sitz/1899-1 seite=493
  2. Michael Bonitz: Max Planck, das Wirkumsquantum und die moderne Physik, PDF
  3. 100 Jahre Quantentheorie (2000): 100 Jahre Quantentheorie
  4. Max Planck: "Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung", Verlag Joh. Amb. Barth,(Leipzig) 1906, S. 154
  5. Max Planck: "Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums." Naturwissenschaften Bd. 31 Nr.14 (1943), S. 153-159.
  6. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 30. Juni 2011.
  7. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. Juni 2011. Wert für h in der Einheit Js
  8. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. Juni 2011. Wert für h in der Einheit eVs
  9. Die Ein-Zeichen-Notation für das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum wurde im Jahr 1926 von P. A. M. Dirac eingeführt. Ein kurzer Abschnitt zur Historie findet sich z. B. in M. Jammer, „The Conceptual Development of Quantum Mechanics“, McGraw-Hill, New York (1966), S. 294. Diracs Originalarbeit: P. A. M. Dirac, „Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom“, Proc. Roy. Soc. A, 110 (1926), S. 561–579.
  10. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011. Wert für \hbar in der Einheit Js
  11. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011. Wert für \hbar in der Einheit eVs
  12. J. Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. 2. Auflage, Springer Verlag 2013, ISBN 978-3-642-32578-6, Seite 43-45
  13. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011. Wert für \hbar c
  14. Abraham Pais: Introducing Atoms and their Nuclei in: Laurie M Brown et al. (Hrsg.) Twentieth Century Physics vol. I, IOP Publishing Ltd. AIP Press. Inc. 1995, ISBN 0-7503-0353-0
  15. Max Planck: Über irreversible Strahlungsvorgänge - Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899 - Erster Halbband (Berlin: Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss.) Seite 440-480 Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin band=10-sitz/1899-1 seite=489
  16. M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900)
  17. Albert Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik, 17 (1905), S. 133 und S. 143. (Online-Dokument: PDF).
  18. Otto Sackur, Annalen der Physik Bd. 354 (1913) S. 67
  19. Max Planck: Die gegenwärtige Bedeutung der Quantenhypothese für die kinetische Gastheorie, Phys. Zeitschr. Bd. 14 (1913) S. 258
  20.  Max Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill, NewYork 1966.
  21. E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem I“, Annalen der Physik 79 (1926), S. 361-376.
  22. W. Heisenberg: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. In: Zeitschrift für Physik. Band 33, 1925, S. 879–893.
  23. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011. Wert für R_K
  24. bipm.org: Resolution 1 of the 24th CGPM, Zugriff am 9. April 2013