Pochhammer-Symbol

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Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.[1]

Notation[Bearbeiten]

Für das Symbol, das diese Funktion repräsentiert, sind verschiedene Varianten gebräuchlich:

x^{(n)} (u. a. in der Kombinatorik)
(x,n),(x)_{n} (Analysis, spezielle Funktionen)
(x^n) (weitere Varianten)

In der Theorie der speziellen Funktionen wird mit

(x)_n\,

die steigende Faktorielle bezeichnet

(x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!},

hingegen wird in der Kombinatorik damit die fallende Faktorielle bezeichnet

(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}.

Um eine Verwechslung zu vermeiden, wird oftmals (x)^n für die steigenden und (x)_n für die fallenden Faktoriellen verwendet. Des Weiteren gibt es eine neue Notation für die steigenden bzw. fallenden Faktoriellen, die von Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik in ihrem Buch Concrete Mathematics eingeführt wurde.
Für die steigenden Faktoriellen schreiben sie

x^{\overline{n}}=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!},

und für die fallenden Faktoriellen

x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-n)!}.

Die fallenden Fakultäten besitzen in der Differenzenrechnung ähnliche Eigenschaften wie Potenzen bei der Differentialrechnung und können zur Berechnung von Reihen verwendet werden.

Definition im Sinne der speziellen Funktionen[Bearbeiten]

Das Pochhammer-Symbol wird im Allgemeinen über die Gammafunktion definiert:

(x,n) \equiv \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}

Für natürliche Zahlen gilt dann

(m,n) \equiv m (m+1) \dots (m+n-1) ;\quad(m,n \in \mathbb{N})

Eigenschaften[Bearbeiten]

Graph der ersten vier Pochhammersymbole
  • Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion
  • Ist n \in \mathbb{N}, so kann (x,n) als Polynom in x dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei x=0.
  • Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen
(x,-n) = (-1)^n \frac{1}{(1-x,n)}
  • Divisionsregel
\frac{x^{\overline{n}}}{x^{\overline{m}}} = (x+m)^{\overline{n-m}} ;\quad n>m
\frac{x^{\overline{n}}}{x^{\overline{m}}} = \frac{1}{(x+m)^{\overline{m-n}}} ;\quad m>n
  • spezielle Werte
1^{\overline{n}} = n!
(1/2)^{\overline{n}} = 2^{-n} (2n-1)!!
(0,0) = 1

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S.76–159, 1888; insbesondere S.80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung (x)_n für den Binomialkoeffizienten, [x]_n für die fallende Faktorielle und [x]_n^+ für die steigende Faktorielle.