Poincaré-Abbildung

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Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach S.

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche \Sigma, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte x den jeweils nächsten P(x) zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System.

Beispiel[Bearbeiten]

Poincaré-Schnitt für eine periodische Trajektorie \gamma

Betrachte die Differentialgleichung \dot{x}(t)=f(x(t)) und bezeichne mit \Phi(t,x) den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung \Phi(0,x)=x. Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung \Phi(t,p), die bei p startet und nach einer bestimmten Zeit \tau wieder dorthin zurückkehrt, \Phi(\tau,p)=p. Dann kann man eine Fläche \Sigma wählen, die transversal zur Trajektorie \Phi(t,p) ist und diese in p schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten x\in \Sigma in der Nähe von p starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit \tau(x)>0, für die \Phi(\tau(x),x)\in\Sigma gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch P(x)=\Phi(\tau(x),x). Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: P(p)=p. Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung[Bearbeiten]

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.[1]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Manfred von Ardenne et. al.: Effekte der Physik und ihre Anwendungen. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt 2005. ISBN 3-8171-1682-9 S. 1130