Poisson-Transformation

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In der Mathematik ist die Poisson-Transformation ein Verfahren zur Konstruktion harmonischer Funktionen auf der Einheitskreisscheibe. Das Integral, das in dieser Konstruktion auftaucht, heißt Poisson-Integral[1] und der Integralkern dessen wird Poisson-Kern genannt.[2] Benannt sind sowohl die Transformation, das Integral und der Integralkern nach dem Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson.

Problemstellung[Bearbeiten]

Gegeben ist eine (beschränkte) Funktion auf dem Einheitskreis S^1=\partial D^2, gesucht wird eine (beschränkte) harmonische Funktion auf der Einheitskreisscheibe D^2, deren Werte auf dem Rand mit der gegebenen Funktion f übereinstimmen.

Mit anderen Worten: es soll das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung

\Delta\Phi= 0

auf der Kreisscheibe gelöst werden.

Konstruktion[Bearbeiten]

Der Poisson-Kern ist die durch

P(x,\xi)=\frac{1-\parallel x\parallel^2}{\parallel \xi-x\parallel^2}\ \forall x\in D^2,\xi\in S^1

gegebene Funktion.

Die Poisson-Transformation ist die Integraltransformation mit Integralkern P: einer Funktion f\in L^\infty(S^1) wird die auf D^2 definierte Funktion

Pf(x)=\int_{S^1}f(\xi)P(x,\xi)d\sigma(\xi)\ \forall x\in D^2

zugeordnet, wobei d\sigma das uniforme Wahrscheinlichkeitsmaß auf S^1 bezeichnet.

Man kann zeigen, dass Pf eine beschränkte harmonische Funktion ist.

Bijektion[Bearbeiten]

Die Poisson-Transformation stellt eine Bijektion zwischen der Menge der beschränkten Funktionen auf S^1 und der Menge der beschränkten harmonischen Funktionen auf D^2 her.

Mit anderen Worten: zu jeder Funktion f\in L^\infty(S^1) gibt es eine eindeutige harmonische Funktion g\in L^\infty(D^2) mit Randwerten f.

Die Bijektion erhält die L^\infty-Norm.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Die Poisson-Transformation lässt sich auf die n-dimensionale Einheitskugel verallgemeinern, in diesem Fall ist der Poisson-Kern P(x,\xi)=\frac{1-\parallel x\parallel^2}{\parallel\xi-x\parallel^n} für x\in D^n,\xi\in\partial D^n=S^{n-1}.

Literatur[Bearbeiten]

  • Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1
  • Quint, J.-F.: An overview of Patterson-Sullivan theory, Workshop "The barycenter method", FIM, Zurich, May 2006 (Online)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Guido Walz (Hrsg.): Poisson-Integral. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2.  Guido Walz (Hrsg.): Poisson-Kern. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.