Polarkoordinaten

Ein Polargitter verschiedener Winkel mit Grad-Angaben

Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Polarkoordinaten

In der Mathematik und Geodäsie versteht man unter einem Polarkoordinatensystem (auch: Kreiskoordinatensystem) ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt auf einer Ebene durch einen Winkel und einen Abstand definiert werden kann. In dem bekannteren kartesischen und rechtshändigen Koordinatensystem finden sich derartige Beziehungen in Form trigonometrischer Formulierungen.

Mathematisch ist das Polarkoordinatensystem hilfreich, wenn sich das Verhältnis zwischen zwei Punkten leichter durch Winkel und Abstände beschreiben lässt als dies mit X- und Y-Koordinaten der Fall wäre. Auf einer allgemeineren Betrachtungsebene stellen Winkel und Abstand hier jeweils eine Generalisierte Koordinate dar. In der Geodäsie sind Polarkoordinaten die häufigste Methode zur Einmessung von Punkten (Polarmethode). In der Funknavigation wird das Prinzip oft als „Rho-Theta“ (für Distanz- und Richtungsmessung) bezeichnet.

In einem zweidimensionalen Koordinatensystem kann jeder Punkt durch zwei Polarkoordinaten beschrieben werden – die Radialkoordinate und die Winkelkoordinate. Die Radialkoordinate (üblicherweise angegeben mit $r$) bezeichnet den Abstand, den dieser Punkt von einem zentralen Punkt besitzt. Letzterer wird als Pol bezeichnet (gleichbedeutend mit dem Ursprung im Kartesischen System). Die Winkelkoordinate (auch als Polarwinkel oder Azimutwinkel bezeichnet und häufig mit θ oder $\varphi$ angegeben) gibt den mathematisch positiven oder linksdrehenden, also gegen den Uhrzeigersinn gedrehten Winkel an, den der Punkt von der 0°-Geraden oder Polarachse ausgehend einnimmt (äquivalent zu der positiven X-Achse in der Kartesischen Koordinatenebene).

Geschichte

Die Begriffe Winkel und Radius wurden bereits von den Menschen des Altertums im ersten Jahrtausend vor Christus verwendet. Der griechische Astronom Hipparchos (190–120 v. Chr.) erstellte eine Tafel von trigonometrischen Sehnenfunktionen, um die Länge der Sehne für die einzelnen Winkel zu finden. Mit Hilfe dieser Grundlage war es ihm möglich, die Polarkoordinaten zu nutzen, um damit die Position bestimmter Sterne festlegen zu können. Sein Werk umfasste jedoch nur einen Teil des Koordinatensystems.

In seiner Abhandlung Über Spiralen beschreibt Archimedes eine Spirallinie mit einer Funktion, deren Radius sich abhängig von seinem Winkel ändert. Die Arbeit des Griechen umfasste jedoch noch kein volles Koordinatensystem.

Es gibt verschiedene Beschreibungen, um das Polarkoordinatensystem als Teil eines formalen Koordinatensystems zu definieren. Die gesamte Historie zu diesem Thema wird in dem Buch Origin of Polar Coordinates (Ursprung der Polarkoordinaten) des Harvard-Professors Julian Coolidge zusammengefasst und erläutert.. Demnach führten Grégoire de Saint-Vincent und Bonaventura Cavalieri diese Konzeption unabhängig voneinander in der Mitte des 17. Jahrhunderts ein. Saint-Vincent schrieb im Jahre 1625 auf privater Basis über dieses Thema und veröffentlichte seine Arbeit 1647, während Cavalieri seine Ausarbeitung 1635 veröffentlichte, wobei eine korrigierte Fassung 1653 erschien. Cavalieri benutzte Polarkoordinaten anfangs, um ein Problem in Bezug auf die Fläche der Archimedischen Spirale zu lösen. Etwas später verwendete Blaise Pascal Polarkoordinaten, um die Länge von parabolischen Winkeln zu berechnen.

In dem Werk Method of Fluxions (Fluxionsmethode) (geschrieben 1671, veröffentlicht 1736) betrachtet Sir Isaac Newton die Transformation zwischen Polarkoordinaten, auf die er sich als "Seventh Manner;For Spirals", (Siebte Methode; Für Spiralen) bezog, und neun anderen Koordinatensystemen.

Es folgte Jacob Bernoulli, der in der Fachzeitschrift Acta Eruditorum (1691) ein System verwendete, das aus einer Geraden und einem Punkt auf dieser Geraden bestand, die er Polarachse bzw. Pol nannte. Die Koordinaten wurden darin durch den Abstand von dem Pol und dem Winkel zu der Polarachse festgelegt. Bernoullis Arbeit reichte bis zu der Formulierung des Krümmungskreises von Kurven, die er durch die genannten Koordinaten ausdrückte.

Der heute gebräuchliche Begriff Polarkoordinaten wurde von Gregorio Fontana schließlich eingeführt und in italienischen Schriften des 18. Jahrhunderts verwendet. Im Folgenden übernahm George Peacock im Jahre 1816 diese Bezeichnung in die englische Sprache, als er die Arbeit von Sylvestre Lacroix Differential and Integral Calculus (Differential und Integralberechnung) in seine Sprache übersetzte.

Alexis-Claude Clairaut hingegen war der erste, der über Polarkoordinaten in drei Dimensionen nachdachte, deren Entwicklung jedoch erst dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler gelang.

Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

Definition

Die Polarkoordinaten eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.

Das Polarkoordinatensystem ist dadurch eindeutig festgelegt, dass ein ausgezeichneter Punkt, auch Pol genannt, den Ursprung / Nullpunkt des Koordinatensystems bildet. Ferner wird ein von ihm ausgehender Strahl, als sogenannte Polachse ausgezeichnet. Letztlich muss noch eine Richtung (von zwei möglichen) die senkrecht zu dieser Polachse ist, als positiv definiert werden, um den Drehsinn / Drehrichtung / Orientierung festzulegen. Nun lässt sich ein Winkel, der Polarwinkel, zwischen einem beliebigen Strahl, der durch den Pol geht, und dieser ausgezeichneten Polachse definieren. Er ist nur bis auf ganzzahlige Umdrehungen um den Pol eindeutig, unabhängig davon, was als Winkelmaß für ihn gewählt wird. Auf der Polachse selbst erfolgt noch eine beliebige, aber feste Skalierung, um die radiale Einheitslänge zu definieren. Nun kann jedem Paar $(r,\phi) \in \R^+_0 \times \R$ ein Punkt der Ebene eindeutig zugeordnet werden, wobei man die erste Komponente als radiale Länge und die zweite als polaren Winkel ansieht. Solch ein Zahlenpaar bezeichnet man als (nicht notwendigerweise eindeutige) Polarkoordinaten eines Punktes in dieser Ebene.

Ebene Polarkoordinaten (mit Winkelangaben in Grad) und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Die Koordinate r, eine Länge, wird als Radius (in der Praxis auch als Abstand) und die Koordinate $\phi$ als (Polar)winkel oder, in der Praxis (gelegentlich) auch als Azimut bezeichnet.

In der Mathematik wird meistens der Winkel im Gegenuhrzeigersinn als positiv definiert, wenn man senkrecht von oben auf die Ebene (Uhr) schaut. Also die Drehrichtung von Osten, nach Norden (und weiter nach Westen) geht, wobei Norden nach oben zeigt. Als Winkelmaß wird dabei der Radiant als Winkeleinheit bevorzugt, weil es dann analytisch am elegantesten zu handhaben ist. Die Polarachse zeigt typerweise nach Osten in grafischen Darstellungen des Koordinatensystems.

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie das Polarkoordinatensystem, dabei die x-Achse in der Richtung der Polarachse, und schließlich die positive y-Achse in Richtung des positiven Drehsinnes wählt – wie in der Abbildung oben rechts dargestellt –, so ergibt sich für die kartesischen Koordinaten $x$ und $y$ eines Punktes:

$x=r\cos\varphi$

$y=r\sin\varphi$

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten

Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist etwas schwieriger, weil man mathematisch gesehen dabei immer auf eine (nicht den gesamten Wertebereich des Vollwinkels umfassende) trigonometrische Umkehrfunktion angewiesen ist. Zunächst kann aber der Radius $r$ mit dem Satz des Pythagoras wie folgt einfach berechnet werden zu:

$r=\sqrt{x^2 + y^2}$

Bei der Bestimmung des Winkels $\varphi$ müssen zwei Besonderheiten der Polarkoordinaten berücksichtigt werden – ferner wählen wir im folgenden als Winkelmaß immer den Radianten:

1. Für $r = 0$ ist der Winkel $\varphi$ nicht eindeutig bestimmt, sondern könnte jeden beliebigen reellen Wert annehmen. Für eine eindeutigen Transformationsvorschrift wird er häufig zu 0 definiert. Die nachfolgenden Formeln sind zur Vereinfachung ihrer Herleitung und Darstellung unter der Voraussetzung $r \ne 0$ angegeben.
2. Für $r \ne 0$ ist der Winkel $\varphi$ nur bis auf ganzzahlige Vielfache von $2\pi$ bestimmt, da die Winkel $\varphi$ und $\varphi + 2\pi k$ (für $k \in \Z$) den gleichen Punkt beschreiben. Zum Zwecke einer einfachen und eindeutigen Transformationsvorschrift wird der Winkel $\varphi$ auf ein halboffenes Intervall der Länge $2\pi$ beschränkt. Üblicherweise werden dazu je nach Anwendungsgebiet die Intervalle $(-\pi,\pi]$ oder $[0,2\pi)$ gewählt.

Berechnung des Winkels im Intervall (−π, π]

Mit Hilfe des Arkustangens kann $\varphi$ wie folgt im Intervall $(-\pi,\pi]$ bestimmt werden:

$\varphi = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\ +\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ -\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ \end{cases}$

Einige Programmiersprachen bieten eine Arkustangens-Funktion atan2$(y,x)$ mit zwei Argumenten an, welche die dargestellten Fallunterscheidungen intern berücksichtigt und den korrekten Wert für $\varphi$ für beliebige Werte von $x$ und $y$ berechnet.

Auch mit Hilfe von komplexen Zahlen lässt sich $\varphi$ explizit darstellen durch:

$\varphi = \arg(x+iy)$,

wobei die rechte Seite mittels $\text{atan2}(y,x)$ berechnet wird.

Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi = \begin{cases} +\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\ -\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}$

Durch Verwendung der Signumfunktion kann man eine explizite Fallunterscheidung in der Formel vermeiden:

$\varphi = \sgn(y) \cdot \arccos\frac{x}{r}$

Durch Ausnutzen der Tatsache, dass in einem Kreis ein Mittelpunktswinkel stets doppelt so groß ist wie der zugehörige Umfangswinkel, kann das Argument auch mit Hilfe der Arkustangens-Funktion mit weniger Fallunterscheidungen berechnet werden:

$\varphi = \begin{cases} 2 \arctan \frac{y}{r+x} & \mathrm{f\ddot ur}\ r + x \neq 0\\ \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ r + x = 0 \end{cases}$

Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π)

Die Berechnung des Winkels $\varphi'$ im Intervall $[0,2\pi)$ kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall $(-\pi,\pi]$ berechnet wird und, nur falls er negativ ist, noch um $2\pi$ vergrößert wird:

$\varphi' = \begin{cases} \varphi + 2\pi & \mathrm{falls}\ \varphi < 0\\ \varphi & \mathrm{sonst} \end{cases}$

Durch Abwandlung der ersten obenstehenden Formel kann $\varphi'$ wie folgt direkt im Intervall $[0,2\pi)$ bestimmt werden:

$\varphi' = \begin{cases} \arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0,\ y \geq 0\\ \arctan\frac{y}{x} + 2\pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0,\ y < 0\\ \arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0\\ \pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\ 3\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\ \end{cases}$

Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi' = \begin{cases} \arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq 0\\ 2\pi - \arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}$

Funktionaldeterminante

Aus den Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erhält man für die Funktionaldeterminante als Determinante der Jacobi-Matrix:

$\det J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix} =r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r$

Flächenelement

Mit der Funktionaldeterminante ergibt sich für das Flächenelement in Polarkoordinaten:

$\mathrm dA = \mathrm dx\,\mathrm dy=|J|\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi$

Linienelement

Aus den obigen Transformationsgleichungen

$x=r \cos\varphi$

$y=r \sin\varphi$

folgen

$\mathrm dx= \cos\varphi \, \mathrm dr - r \, \sin\varphi \, \mathrm d\varphi$

$\mathrm dy= \sin\varphi \, \mathrm dr + r \, \cos\varphi \, \mathrm d\varphi$

Für das kartesische Linienelement gilt

$\mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2\,$

wofür in Polarkoordinaten folgt

$\mathrm ds^2=\mathrm dr^2+ r^2 \, \mathrm d\varphi^2$

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Hierzu zerlegt man die Bewegung in eine radiale und eine dazu senkrechte »transversale« Komponente. Für den Geschwindigkeitsvektor $\dot {\vec r}$ gilt

$\dot{\vec r}=\dot{r}\,\vec e_r + r\dot{\varphi}\,\vec e_\varphi$

mit den Einheitsvektoren $\vec e_r=(\cos(\varphi),\sin(\varphi))$ und $\vec e_\varphi=({-\sin(\varphi)},\cos(\varphi))$.

Für die Beschleunigung $\ddot {\vec r}$ gilt

$\ddot{\vec r}=(\ddot r - r\dot\varphi^2) \,\vec e_r+(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \,\vec e_{\varphi}.$

Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten oder zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate beschreibt die Höhe eines Punktes senkrecht über (oder unter) der Ebene des Polarkoordinatensystems und wird im Allgemeinen mit z bezeichnet. Die Koordinate $\mathbf{\rho}$ (im nachfolgenden Bild als r bezeichnet) beschreibt jetzt nicht mehr den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der z-Achse.

Umrechnung zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem so ausrichtet, dass die z-Achsen zusammenfallen und die x-Achse in Richtung $\varphi = 0$ zeigt, dann ergeben sich die folgenden Umrechnungsformeln:

$x=\rho\,\cos\varphi$

$y=\rho\,\sin\varphi$

$z=z \quad$

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten ergeben sich für $\rho\,$ und $\varphi$ die gleichen Formeln wie bei den Polarkoordinaten.

Funktionaldeterminante

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten z hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,z)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \rho\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\rho$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

$\mathrm{d}V=\rho \,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}z$

Das entspricht auch der Quadratwurzel des Betrags der Determinante des metrischen Tensors, mit dessen Hilfe die Koordinatentransformation berechnet werden kann (siehe dazu Laplace-Beltrami-Operator).

$\begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-\rho\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&\rho\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mathrm d\rho\\\mathrm d\varphi\\\mathrm dz\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}\mathrm d\rho\\\mathrm d\varphi\\\mathrm dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{pmatrix}$

Vektoranalysis

Die folgenden Darstellungen des Nabla-Operators können in der gegebenen Form direkt auf skalare oder vektorwertige Felder in Zylinderkoordinaten angewendet werden. Man verfährt hierbei analog zur Vektoranalysis in kartesischen Koordinaten.

Gradient

Die Darstellung des Gradienten überträgt sich wie folgt von kartesischen in Zylinderkoordinaten:

$\nabla f= \frac{\partial f}{\partial \rho } \vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \varphi} \vec{e}_\varphi+ \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z$

Divergenz

Bei der Divergenz kommen noch weitere Terme hinzu, welche sich aus den Ableitungen der von $\rho$, $\varphi$ und $z$ abhängigen Einheitsvektoren ergeben:

$\nabla \cdot \vec{A}= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho }(\rho A_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

Rotation

$\nabla \times \vec{A}=\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\vec{e}_\rho+ \left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\vec{e}_\varphi+\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \vec{e}_z$

Kugelkoordinaten

Siehe Hauptartikel: Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Dies geschieht wie vor, indem man einen Winkel $\theta \in [0,\pi]$ für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den Winkel zwischen dem Vektor $\vec{r}$ zum Punkt P und der z-Achse. $\theta$ ist genau dann null, wenn P in der z-Achse liegt.

n-dimensionale Polarkoordinaten

Es lässt sich auch eine Verallgemeinerung der Polarkoordinaten mit $n \ge 3$ für einen n-dimensionalen Raum mit kartesischen Koordinaten $x_{i}\in \mathbb{R}$ für $i=1,\ldots,n$ angeben. Dazu führt man für jede neue Dimension (induktiver Aufbau über selbige) einen weiteren Winkel $\vartheta_{n-2}\in [0,\pi]$ ein, der den Winkel zwischen dem Vektor $x\in \mathbb{R}^{n}$ und der neuen, positiven Koordinatenachse für $x_{n}$ angibt. Mit demselben Vorgehen kann in konsistenter Weise die Winkelkoordinate des 2-dimensionalen Raumes mittels $\varphi = \vartheta_{0} \in [0,\pi]$ induktiv aus dem Zahlenstrahl konstruiert werden, sofern für die radiale Koordinate auch negative Werte, also somit ganz $\R$, zugelassen wären.

Umrechnung in kartesische Koordinaten

Eine Umrechnungsvorschrift von diesen Koordinaten in kartesische Koordinaten wäre dann:

$\begin{array}{lcr} x_{1} & = & r\ \cos\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{2} & = & r\ \sin\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{3} & = & r\ \cos\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2} \\ x_{4} & = & r\ \cos\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots \qquad\qquad\qquad\quad\\ x_{n-1} & = & r\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\ x_{n} & = & r\ \cos\vartheta_{n-2} \end{array}$

Wie man nachweisen kann, gehen diese Polarkoordinaten für den Fall n=2 in die gewöhnlichen Polarkoordinaten und für n=3 in die Kugelkoordinaten über.

Funktionaldeterminante

Die Funktionaldeterminante der Transformation von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten beträgt:

$\det\frac{\partial(x_{1},\ldots,x_{n})}{\partial(r,\vartheta_{1},\ldots,\vartheta_{n-2},\varphi)}=r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2}$

Damit beträgt das n-dimensionale Volumenelement:

$\begin{matrix} \mathrm dV &=& r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2} \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \mathrm d\vartheta_{1} \ldots \mathrm d\vartheta_{n-2} \\ &=& r^{n-1}\ \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \prod\limits_{j=1}^{n-2} (\sin\vartheta_{j})^{j}\ \mathrm d\vartheta_{j} \end{matrix}.$

Anmerkung: n-dimensionalen Zylinderkoordinaten sind einfach ein Produkt / Zusammensetzung k-dimensionaler Kugelkoordinaten und (n-k)-dimensionaler kartesischer Koordinaten mit k ≥ 2 und n-k ≥ 1.

Weblinks

• FooPlot: Funktionsplotter mit Polarkoordinaten