Polylogarithmus

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Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe


\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.

definiert ist. Für s = 1 geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

\mathrm{Li}_1(z)=-\ln(1-z).

Im Fall s=2 oder s=3 spricht man entsprechend von Dilogarithmus oder Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe s und z mit |z|<1. Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere z ausdehnen.

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene
Complex polylogminus3.jpg
Complex polylogminus2.jpg
Complex polylogminus1.jpg
Complex polylog0.jpg
Complex polylog1.jpg
Complex polylog2.jpg
Complex polylog3.jpg

\operatorname{Li}_{-3}(z)

\operatorname{Li}_{-2}(z)

\operatorname{Li}_{-1}(z)

\operatorname{Li}_{0}(z)

\operatorname{Li}_{1}(z)

\operatorname{Li}_{2}(z)

\operatorname{Li}_{3}(z)

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist s=n eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus durch die Rekursion

\operatorname{Li}_{0}(z) =\frac{z}{1-z}; \quad \operatorname{Li}_{n+1}(z) = \int_0^z \frac{\operatorname{Li}_n(t)}{t}\, \mathrm dt,\, (n\in\{0,1,2,3,\ldots\})

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus, und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von s lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. \pi) einzeln berechnet werden.

Funktionswerte und Rekursionen[Bearbeiten]

Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von s:

\operatorname{Li}_{1}(z)  = -\textrm{ln}\left(1-z\right)
\operatorname{Li}_{0}(z)  = {z \over 1-z}
\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}
\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}
\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}.
\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z(1+z)(1+10z+z^2) \over (1-z)^5}.

Formal kann man \operatorname{Li}_{-n}(z):=(z\frac{d}{dz})^nH(z) mit der (für alle z divergierenden) Reihe H(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty z^k definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten Laurent-Reihen) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen nichtpositiven Werte von s kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion. Für die drei kleinsten positiven Werte von s sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle 1/2 angegeben:

\operatorname{Li}_{1}\left( \tfrac 1 2 \right) = \ln 2
\operatorname{Li}_{2}\left( \tfrac 1 2 \right) = \tfrac1{12}\left(\pi^2-6\,\ln^2 2 \right)
\operatorname{Li}_{3}\left( \tfrac 1 2 \right) = \tfrac1{24}\left( 4\, \ln^3 2-2\pi^2\, \ln 2+21\,\zeta(3) \right)

\zeta ist dabei die Riemannsche Zetafunktion. Für größeres s sind keine derartigen Formeln bekannt.

Es gilt

\!\ \mathrm{Li}_s(1)=\zeta(s)

und

\!\ \mathrm{Li}_s(-1)=-\eta(s)

mit der dirichletschen \eta-Funktion[1].

Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{Li}_n(x)=\frac1x \mathrm{Li}_{n-1}(x)

Integraldarstellung[Bearbeiten]

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen z,s durch


\mathrm{Li}_s(z)=
\frac{z}{2}+\mathrm{ln}^{s-1}\,\frac{1}{z}\,\Gamma(1-s,-\mathrm{ln}\,z)+
2z\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t-t\,\mathrm{ln}\,z)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}(\mathrm{e}^{2\pi\,t}-1)}\,\mathrm{d}t

mit Hilfe des Integralausdrucks für die Lerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist \Gamma(s,z)=\int\limits_z^\infty t^{s-1}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Mehrdimensionale Polylogarithmen[Bearbeiten]

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert[2]:

\mathrm{L}_{a_1,\ldots,a_m}(z)=\sum_{n_1<\ldots<n_m<0} \frac{z^{n_1}}{n_1^{a_1}\cdots n_m^{a_m}}

Lerchsche Zeta-Funktion[Bearbeiten]

Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten Lerchschen Zeta-Funktion:

\,\textrm{Li}_s(z)=z\cdot\Phi(z,s,1).

Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen[Bearbeiten]

Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus[3]:

S_{n,p}(z)=\frac{(-1)^{n+p-1}}{(n-1)!p!} \int\limits_0^1 \frac{\ln(t)^{-1}\left[\ln(1-zp)^t\right]}t \mathrm dt

Es gilt:

S_{n-1,1}(z)=\mathrm{Li}_n(z)

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Alexander Goncharov: Polylogarithms in arithmetic and geometry. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), 374–387, Birkhäuser, Basel, 1995. pdf

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Multidimensional Polylogarithms. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Nielsen Generalized Polylogarithm. In: MathWorld (englisch).