Positive und negative Zahlen

Die reellen Zahlen ohne die Null ($\R \backslash \{0\}$) werden in der Mathematik in positive und negative Zahlen unterschieden. Eine Zahl, die größer als null ist wie beispielsweise 3, nennt man positiv; ist sie kleiner als null wie z. B. −3 nennt man sie negativ. Positive Zahlen tragen ein Pluszeichen, das aber meist nicht notiert wird, und negative Zahlen ein Minuszeichen als Vorzeichen. Das Pluszeichen wird normalerweise weggelassen. Die Null ist weder positiv noch negativ.

Die gleiche Unterscheidung kann bei Teilmengen der reellen Zahlen vorgenommen werden, wie zum Beispiel bei den rationalen Zahlen oder den ganzen Zahlen.

Da man bei einigen Zahlenmengen (z. B. komplexe Zahlen) keine mit der Addition und Multiplikation verträgliche Ordnung definieren kann, kann man für diese Zahlen auch nicht von größer oder kleiner als Null sprechen. Für die genauen Anforderungen an eine derartige Ordnungsrelation siehe geordneter Körper.

Darstellung

Positive Zahlen werden ohne Vorzeichen oder mit einem Pluszeichen, negative Zahlen mit einem Minuszeichen gekennzeichnet oder, speziell im Finanzbereich, in Klammern geschrieben. Auf der Zahlengerade ist der Bereich der positiven Zahlen spiegelsymmetrisch zum Bereich der negativen Zahlen. Der Abstand einer Zahl a zur 0 ist gleich dem Abstand der 0 zur Zahl −a.

Eigenschaften

Gegenzahl

−a heißt Gegenzahl zu a; a ist umgekehrt Gegenzahl zu −a. 0 ist seine eigene Gegenzahl. Der Betrag einer Zahl a ist gleich dem Betrag ihrer Gegenzahl.

Natürliche Zahlen

Der Begriff "positive" bzw. "negative Zahl" kann auf die ganzen Zahlen (eingebettet in die reellen Zahlen) übertragen werden. Die natürlichen Zahlen sind die positiven (oder bei entsprechender Definition die nichtnegativen) ganzen Zahlen. Hierbei hat sich die Schreibweise $\N$ (nur positive ganze Zahlen) bzw. $\N_0$ (nichtnegative ganze Zahlen) eingebürgert.

Multiplikationsgruppe

Fasst man die positiven reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge P zusammen und die negativen reellen (oder rationalen) Zahlen zur Menge N, so ist die Vereinigung der Mengen P und N, also die Menge aller Zahlen ungleich Null, eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation.

Da z. B. die ganze Zahl 2 (bezüglich der Multiplikation) keine inverse ganze Zahl hat (1/2 ist keine ganze Zahl), gilt dies nicht für die ganzen Zahlen.

Minus mal Minus gleich Plus

Wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen miteinander multipliziert, erhält man stets eine positive Zahl. Multipliziert man hingegen eine positive mit einer negativen Zahl, so ist das Ergebnis stets negativ.

Vorzeichenfehler

Viele Rechenfehler beruhen auf einer Verwechslung des Vorzeichens.

berühmte Beispiele

Hochrheinbrücke, bei der die Höhe der Brückenpfeiler in der Schweiz beziehungsweise in Deutschland mit einer um das Vorzeichen falschen Höhenkorrektur berechnet wurden. Eigentlich wollte man die in beiden Ländern unterschiedlichen Höhensysteme ausgleichen.

Siehe auch

• Signum
• Positivbereich