Potente Zahl

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Eine potente Zahl ist eine natürliche Zahl m, so dass für jeden Primteiler p von m auch p2 Teiler von m ist. Äquivalent dazu ist eine potente Zahl das Produkt einer Quadratzahl und einer Kubikzahl: m = a2b3 mit natürlichen Zahlen a und b. Paul Erdős und George Szekeres untersuchten solche Zahlen, Solomon W. Golomb nannte sie powerful.

Liste aller potenten Zahlen von 1 bis 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Folge A001694 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Die Reihe über den Kehrwerten aller potenten Zahlen lässt sich mit Hilfe der Riemannsche ζ-Funktion geschlossen darstellen. (Golomb, 1970)

\sum_{n\, \text{potent}} \frac{1}{n}=\prod_p \left(1+\frac{1}{p\, (p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\,\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)=1{,}9435964368207592050570...

Dabei ist \zeta(3) die Apéry-Konstante, für die es keine exakte Darstellung wie für gerade Argumente der Riemannschen Zeta-Funktion gibt. Ihr numerischer Wert beläuft sich auf \zeta(3)=1{,}20205690315959428539....

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