Potenz (Geometrie)

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Der Begriff Potenz bezeichnet in der Geometrie ein spezielles, von Jakob Steiner 1826 eingeführtes Maß dafür, wie weit außerhalb oder innerhalb eines Kreises sich ein Punkt befindet. Die Potenz eines Punktes P bezüglich eines Kreises mit Mittelpunkt M und Radius r ist gegeben durch den Rechenausdruck

Potenz.png
\overline{MP}^2 - r^2.

Drei Fälle sind zu unterscheiden:

  • Liegt der Punkt P außerhalb des Kreises, so ist seine Potenz positiv. Sind X und Y die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden durch P mit dem Kreis, so ist die Potenz von P nach dem Sekantensatz gleich \overline{PX} \cdot \overline{PY}. Diese Aussage ist auch dann richtig, wenn X und Y zusammenfallen (Sekanten-Tangenten-Satz). Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass für einen Punkt P außerhalb des Kreises die Potenz mit dem Quadrat der Länge eines Tangentenabschnitts übereinstimmt (in der Zeichnung also mit \overline{B_1 P}^2 beziehungsweise \overline{B_2 P}^2).
  • Punkte, die auf dem Kreis liegen, haben die Potenz 0.
  • Für Punkte im Kreisinneren ist die Potenz negativ. Sind X und Y die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden durch P mit dem Kreis, so ist die Potenz von P nach dem Sehnensatz gleich -\overline{PX} \cdot \overline{PY}.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Jakob Steiner: "Einige geometrische Betrachtungen" in Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 1, S. 161–184 (1826)
  •  Jacob Steiner, C.F. Geiser, H. Schröter: Jacob Steiner's Vorlesungen über synthetische Geometrie. Erster Theil: Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung. Teubner, 1867, S. 1–3 ([1]).