Potenzial (Spieltheorie)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ein Ordnungspotenzial oder eine Ordnungspotenzialfunktion ist in der Spieltheorie eine spezielle Funktion auf der Menge der Strategiekombinationen eines Spiels. Durch diese Funktion werden die Strategiekombination nach ihrer Auszahlung an die Spieler angeordnet. Eine Strategiekombination besitzt dabei genau dann einen höheren Wert, wenn sie für jeden Spieler zu einer höheren Auszahlung führt. Indem man Ordnungspotenzialfunktion strenger an die Auszahlungsfunktionen bindet, erhält man die Spezialfälle des gewichteten Potenzials und des exakten Potenzials. Letzteres wird auch einfach nur als Potenzial oder Potenzialfunktion bezeichnet.

Die meisten Spiele besitzen allerdings kein Ordnungpotenzial. Von Dov Monderer wurden deshalb 1988 bzw. 1996 die folgenden Klassen von Spielen eingeführt:[1]

  • Spiel mit Ordnungspotenzial
  • Spiel mit gewichtetem Potenzial
  • Spiel mit (exaktem) Potenzial

Eine Potenzialfunktion wurde bei Spielen erstmals 1973 von Robert W. Rosenthal eingesetzt, um zu zeigen, dass Auslastungsspiele ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien besitzen.[2]

Definition[Bearbeiten]

Bei allen drei Definitionen sei \Gamma = (N, \Sigma, u) ein Spiel in Normalform. Weiter sei \sigma \in \Sigma ein beliebiges aber festes Strategieprofil und \sigma' := (\sigma^{-i}, \sigma_i') das Profil, das durch den Wechsel der Strategie eines Spielers i \in N von \sigma_i zu \sigma_i' entsteht.

Ordnungspotenzial[Bearbeiten]

Eine Ordnungspotenzialfunktion P ist eine Funktion P: \Sigma \rightarrow \R, für die gilt, dass

u_i(\sigma') - u_i(\sigma) > 0 \quad \Leftrightarrow \quad P(\sigma') - P(\sigma) > 0

Gewichtetes Potenzial[Bearbeiten]

Eine gewichtete Potenzialfunktion P ist eine Funktion P: \Sigma \rightarrow \R bei der für jeden Spieler i \in N eine Zahl w_i > 0 existiert, sodass stets gilt, dass

u_i(\sigma') - u_i(\sigma) = w_i \cdot (P(\sigma') - P(\sigma))

In diesem Fall nennt man \Gamma ein gewichtetes Potenzialspiel. Die Gewichte w_1, w_2, \ldots, w_n bilden einen Vektor w. Kennt man diese Zahlen, so nennt man P ein w-Potenzial und spricht von einem Spiel mit w-Potenzial.

Exaktes Potenzial[Bearbeiten]

Eine (exakte) Potenzialfunktion P ist eine Funktion P: \Sigma \rightarrow \R für die gilt, dass

u_i(\sigma') - u_i(\sigma) = P(\sigma') - P(\sigma)

Die exakte Potenzialfunktion ist also ein Spezialfall einer gewichteten Potenzialfunktion, bei der alle Gewichte w_i = 1 sind. Es gilt, dass jedes Auslastungsspiel eine exakte Potentialfunktion hat, umgekehrt ist jedes endliche Spiel, welches eine exakte Potentialfunktion besitzt, isomorph zu einem Auslastungsspiel.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Jedes endliche Spiel mit Ordnungspotenzial besitzt ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien.

Zwei Potenzialfunktionen P_1 und P_2 eines Spiels unterscheiden sich nur durch eine Konstante:

P_1(\sigma) = P_2(\sigma) + c

Das bedeutet, dass für zwei Strategiekombinationen \sigma^* und \sigma^{**} gilt

P_1(\sigma^*) - P_1(\sigma^{**}) = P_2(\sigma^*) - P_2(\sigma^{**})

Quellen[Bearbeiten]

  1. a b Dov Monderer, Lloyd S. Shapley: Potential Games. (PDF; 200 kB) Games and Economic Behavior 14, 1996, S. 124–143
  2. Robert W. Rosenthal: A Class of Games Possessing Pure-Strategy Nash Equilibria. In: International Journal of Game Theory. Nr. 2, 1973, S. 65–67