Potenzreihe

Unter einer Potenzreihe $P(x)$ versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

$P(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$

mit

• einer beliebigen Folge $(a_n)_{n \in \mathbb N_0}$ von reellen oder komplexen Zahlen
• dem Entwicklungspunkt $x_0$ der Potenzreihe.

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: die Reihe konvergiert entweder

• nur für $x = x_0$, oder

• auf einem Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt $x_0$ (komplexe Ebene), dem sogenannten Konvergenzkreis, oder

• auf ganz $\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C}$.

Konvergenzradius

→ Hauptartikel: Konvergenzradius

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle $x_0$ ist die größte Zahl $r$ definiert, für welche die Potenzreihe für alle $x$ mit $|x-x_0|<r$ konvergiert. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle $x$ konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für $x_0$, so ist der Konvergenzradius 0, dies wird manchmal auch nirgendskonvergent genannt.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius $r$ mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

$r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.$

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten einfacher auf folgende Weise berechnet werden. Es gilt nämlich

$r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,$

sofern dieser Limes existiert. Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

• $|x-x_0|<r \Rightarrow$ Die Potenzreihe ist absolut konvergent.
• $|x-x_0|>r \Rightarrow$ Die Potenzreihe ist divergent.
• $|x-x_0|=r \Rightarrow$ Hier lassen sich keine allgemeinen Konvergenzaussagen treffen, dieser Fall ist für jedes $x$ jeweils separat zu untersuchen (siehe hierzu auch: Abelscher Grenzwertsatz).
• Ist $|x-x_0|\leq r^{\prime}<r$, so konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig für alle x mit $|x-x_0|\leq r^{\prime}$. Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch immer eine gleichmäßige Konvergenz vor.

Operationen mit Potenzreihen

Addition und skalare Multiplikation

Sind $f$ und $g$ zwei Potenzreihen

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$

mit dem Konvergenzradius $r$ und ist $c$ eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch $f+g$ und $cf$ wieder Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens $r$ und es gilt

$f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n$

$cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n .$

Multiplikation

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius $r$ ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens $r$ ist. Es gilt

$\begin{align} f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n \end{align}$

Die Folge $\textstyle m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ wird dabei als Faltung oder Konvolution der beiden Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$ bezeichnet.

Differentiation und Integration

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}$

Hierbei ist $f$ beliebig oft differenzierbar und es gilt:

$f^{(k)} (x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n$

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C$

In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.

Beispiele

Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe mit Konvergenzradius unendlich auffassen, wobei alle Koeffizienten $a_n$ mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind auch Laurent-Reihen, Taylorreihen und die Maclaurinsche Reihe. Funktionen, die sich durch Potenzreihen darstellen lassen werden auch Analytische Funktionen genannt. Hier noch beispielhaft die Reihenentwicklungen einiger bekannter Funktionen:

• Exponentialfunktion: $e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ für alle $x \in \mathbb{R}$, d. h. der Konvergenzradius ist unendlich.

• Sinus: $\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\cdots$

• Kosinus: $\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\cdots$

Der Konvergenzradius ist sowohl für den Sinus als auch für den Kosinus unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der eulerschen Formel aus der Exponentialfunktion.

• Logarithmusfunktion: $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+ \cdots$

für $-1 < x \leq 1$ , d. h. der Konvergenzradius ist 1. Für $x=1$ ist die Reihe konvergent, für $x=-1$ divergent.

• Wurzelfunktion: $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 \mp \cdots$ für $-1 \leq x \leq 1$, d. h. der Konvergenzradius ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für $x=1$ als auch für $x=-1$.

Verallgemeinerungen

Potenzreihen lassen sich nicht nur für $x \in \mathbb{R}$ definieren, sondern sind auch verallgemeinerbar. So sind z. B. das Matrixexponential und der Matrixlogarithmus Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der quadratischen Matritzen.

Literatur

• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
• E.D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics