Potenzturm

In der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie, spricht man von einem Potenzturm, wenn der Exponent einer Potenz noch weitere Male potenziert wird und sich die Exponenten somit zu einem Turm addieren. Die Schreibweise wird üblicherweise für Zahlen verwendet bei denen der Exponent in normaler Schreibweise zu groß wäre, z. B.:

$2^{81.129.638.414.606.681.695.789.005.144.064}=2^{2^{106}} \approx 2^{2^{10^{2}}}$

oder

$2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} = 2^{2^{2^{2^{4}}}} = 2^{2^{2^{16}}} = 2^{2^{65.536}} \approx 2^{2 \cdot 10^{19.728}}$

Dabei ist zu beachten, dass Potenztürme von oben nach unten abgearbeitet werden, da

$2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} \not= \left(\left(\left(\left(2^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2 = 2^{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2} = 2^{2^5} =4.294.967.296$

Statt also eine Zahl in normaler Exponentialschreibweise zu nutzen, deren Exponent 19.728 Stellen hätte, kann man die Zahl verkürzt (und in absoluter Genauigkeit) mit einem Potenzturm darstellen, der in der vorletzten Stufe noch eine überschaubare Größe hat. Mit Hilfe dieser Schreibweise lassen sich große Zahlen darstellen, die schnell jenseits jeder direkten Vorstellbarkeit liegen und die sich in absoluter Länge und als Potenz nicht mehr oder nur umständlich, darstellen lassen.

Dennoch gibt es Zahlen, die so groß sind, dass selbst diese Schreibweise nicht mehr ausreicht, um sie darzustellen. Wenn also ein Potenzturm zu viele Stufen hat, als dass man sie noch darstellen könnte, nutzt man alternative Schreibweisen wie den Hyper-Operator.

Darstellung mit Folgen und unendliche Potenztürme

Ein endlicher Potenzturm der Form (siehe auch Pfeilschreibweise)

$\begin{matrix} x\uparrow\uparrow k & = & \underbrace{x^{x^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^x}}}}}} \\ & & k\mbox{ Kopien von }x \end{matrix}$

mit $x \in \mathbb R^{\geq 0}$ und $k \in \mathbb N$ stimmt mit dem Folgeglied $a_{k}(x)$  der Folge $(a_{n}(x))$ überein:

$a_{n}(x):=\begin{cases} x, & \text{falls }n=1 \\ x^{a_{n-1}(x)}, & \text{falls }n>1 \end{cases}$

Die Folge $(a_{n} (x))$ selbst wird als Partialturmfolge bezeichnet und mit dem unendlichen Potenzturm identifiziert (analog zum Begriff der unendlichen Reihe).

Ist $(a_{n} (x))$ konvergent mit dem Grenzwert $A(x),$ dann heißt der (unendliche) Potenzturm konvergent mit

$x\uparrow\uparrow \infty = x^{x^{{}^{.\,^{.\,^{.\, }}}}}= A(x).$

Schon Leonhard Euler hat erkannt, dass der Potenzturm

$x \uparrow \uparrow \infty = x^{x^{{}^{.\,^{.\,^{.\, }}}}} \qquad \text{f}\ddot{\text{u}}\text{r}\; x\in\mathbb R^{\geq 0}$

genau dann konvergiert, wenn

$0{,}065988 \approx \frac {1}{e^e} \le x\le e^{\frac{1}{e}} \approx 1{,}44468$.

Ist  $x = a^{\frac{1}{a}}$    für ein $a\in [\tfrac 1e ; e ],$ dann gilt:

$x\uparrow\uparrow \infty = x^{x^{{}^{.\,^{.\,^{.\, }}}}}= a.$

Siehe auch

• Lambertsche W-Funktion
• Skewes-Zahl
• Graham-Zahl
• Googol

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Power Tower. In: MathWorld. (englisch)