Primelement

Der Begriff Primelement ist in der kommutativen Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Definition

Ein Element $c$ eines kommutativen unitären Ringes $(R, +, \cdot, 0, 1)$ heißt Primelement, falls $c$ weder 0 noch eine Einheit ist und für alle Elemente $a,b \in R$ gilt: Teilt $c$ das Produkt $a \cdot b$, so folgt stets $c$ teilt $a$ oder $c$ teilt $b$.

In Symbolnotation: $c \mbox{ ist prim } \Leftrightarrow\ c \ne 0 \land c\nmid 1 \land \forall \{a,b\}\subset R\quad c\mid a \cdot b \Rightarrow c \mid a \lor c \mid b .$

Primelemente sind also im Wesentlichen diejenigen Elemente, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.

Irreduzible Elemente

Eine andere Verallgemeinerung des Primzahl-Begriffs bilden irreduzible Elemente, die nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Die Begriffe Primelement und irreduzibles Element sind im Allgemeinen verschieden.

Sätze über Primelemente

• Ist $c$ ein Primelement und $e$ eine Einheit, so ist $c \cdot e$ ebenfalls ein Primelement.
• Ist $R$ ein Integritätsring, so ist jedes Primelement in $R$ irreduzibel.
• Ist $R$ ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von $R \backslash \{ 0\}$ lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.
• Eine Nichteinheit $c \ne 0$ von $R$ ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal $(c)$ ein Primideal ist.
• Ein Körper besteht nur aus der Null und Einheiten. Folglich enthält ein Körper nie Primelemente.

Beispiele

• Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
• Einheiten und die 0 sind per Definition keine Primelemente.
• Im Integritätsring $\mathbb{Z}[i\sqrt5]$ (enthält alle Zahlen der Form $a +b \cdot i\sqrt{5}$, mit $a , b \in \Z$), ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim. Das ist so, weil 6 zwar von 2 geteilt wird, sich aber als Produkt $(1+i\sqrt5)\cdot(1-i\sqrt5)$ schreiben lässt, wobei keiner der Faktoren durch 2 teilbar ist.
• Ist $K$ ein Körper und $R$ der Produktring $K\times K$, dann ist $(1,0)\in R$ ein Primelement, das nicht irreduzibel ist.