Primideal

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In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen[Bearbeiten]

Es sei R ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal \mathfrak{p} \subseteq R Primideal oder prim, falls \mathfrak{p} echt ist, also \mathfrak{p} \neq R, und wenn für alle Ideale \mathfrak{a, b} \subseteq R gilt:[1]

Aus \mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p} folgt \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p} oder \mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.

Außerdem heißt \mathfrak{p} vollständiges Primideal oder vollprim, falls \mathfrak{p} echt ist und wenn für alle a, b \in R gilt:

Aus ab \in \mathfrak{p} folgt a \in \mathfrak{p} oder b \in \mathfrak{p}.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten]

  • Ein zweiseitiges Ideal \mathfrak{p}\subseteq R ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle a, b \in R gilt:
Aus (für alle r \in R gilt arb \in \mathfrak{p}) folgt (a \in \mathfrak{p} oder b \in \mathfrak{p}).

Spektrum[Bearbeiten]

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings R heißt Spektrum von R und wird mit Spec(R) notiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen 2\times 2-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
  • In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen R mit Einselement gilt:

  • Ein Element p \in R\backslash\left\{0\right\} ist genau dann ein Primelement, wenn das von p erzeugte Hauptideal (p) ein Primideal ist.[2]
  • Ein Ideal \mathfrak{p} \subset R ist genau dann prim, wenn der Faktorring R/\mathfrak{p} ein Integritätsring ist.
  • Enthält ein Primideal einen Durchschnitt \mathfrak{a}_1\cap\ldots\cap\mathfrak{a}_n von endlich vielen Idealen von R, so enthält es auch eines der Ideale \mathfrak{a}_i.
  • Ein Ideal \mathfrak{p} \subset R ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge S=R\setminus \mathfrak{p} multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach \mathfrak{p}, worunter man den Ring S^{-1}R versteht, den man auch als R_\mathfrak{p} schreibt.[3]

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Menge 2\mathbb{Z} der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring \mathbb{Z} der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
  • Die Menge 6\mathbb{Z} der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in \mathbb{Z}, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
  • Im Ring R=2\Z ist das maximale Ideal \mathfrak{m}=4\Z kein Primideal.
  • Ein maximales Ideal \mathfrak{m}\subseteq R eines Ringes R ist genau dann prim, wenn RR \nsubseteq \mathfrak{m}. Insbesondere ist \mathfrak{m} prim, falls R ein Einselement enthält.
  • Das Nullideal (0)\subset R in einem kommutativen Ring R ist genau dann ein Primideal, wenn R ein Integritätsbereich ist.
  • In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht, wie das Beispiel der n×n-Matrizen für n>1 zeigt.
  • Allgemein ist das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ein Primideal

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
  2. K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN= 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, §4, Beispiel d) hinter Satz 3.5