Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen

Es sei $R$ ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p} \subseteq R$ Primideal oder prim, falls $\mathfrak{p}$ echt ist, also $\mathfrak{p} \neq R$, und wenn für alle Ideale $\mathfrak{a, b} \subseteq R$ gilt:

Aus $\mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p}$ folgt $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$ oder $\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.$

Außerdem heißt $\mathfrak{p}$ vollständiges Primideal oder vollprim, falls $\mathfrak{p}$ echt ist und wenn für alle $a, b \in R$ gilt:

Aus $ab \in \mathfrak{p}$ folgt $a \in \mathfrak{p}$ oder $b \in \mathfrak{p}.$

Äquivalente Definitionen

• Ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p}\subseteq R$ ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle $a, b \in R$ gilt:

Aus (für alle $r \in R$ gilt $arb \in \mathfrak{p}$) folgt ($a \in \mathfrak{p}$ oder $b \in \mathfrak{p}$).

• Ein zweiseitiges Ideal $\mathfrak{p}\subseteq R$ ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring $R/\mathfrak{p}$ nullteilerfrei ist.

Spektrum

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings $R$ heißt Spektrum von $R$ und wird mit Spec($R$) notiert.

Eigenschaften

• Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen n×n-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
• In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen $R$ mit Einselement gilt:

• Ein Element $p \in R\backslash\left\{0\right\}$ ist genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.
• Enthält ein Primideal einen Durchschnitt $\mathfrak{a}_1\cap\ldots\cap\mathfrak{a}_n$ von endlich vielen Idealen von $R$, so enthält es auch eines der Ideale $\mathfrak{a}_i$.
• Ein Ideal $\mathfrak{p} \subset R$ ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge $S=R\setminus \mathfrak{p}$ multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach $\mathfrak{p}$, worunter man den Ring $S^{-1}R$ versteht, den man auch als $R_\mathfrak{p}$ schreibt.

Beispiele

• Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
• Die Menge $6\mathbb{Z}$ der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in $\mathbb{Z}$, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
• Ein maximales Ideal $\mathfrak{m}\subseteq R$ eines Ringes $R$ ist genau dann prim, wenn $RR \nsubseteq \mathfrak{m}$. Insbesondere ist $\mathfrak{m}$ prim, falls $R$ ein Einselement enthält.
• Das Nullideal $(0)\subset R$ in einem kommutativen Ring $R$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R$ ein Integritätsbereich ist.
• In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht, wie das Beispiel der n×n-Matrizen für n>1 zeigt.
• Allgemein ist das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ein Primideal