Primmodell

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In der Modelltheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Logik, nennt man ein Modell einer Theorie Primmodell, wenn sich dieses Modell in jedes Modell dieser Theorie elementar einbetten lässt.

Definition[Bearbeiten]

Im Folgenden ist \mathcal T eine abzählbare Theorie ohne endliche Modelle.

\mathfrak A ist ein Primmodell der Theorie \mathcal T genau dann, wenn für alle \mathfrak B mit \mathfrak B \models \mathcal T eine Abbildung \Phi existiert mit \Phi: \mathfrak {A \hookrightarrow B}

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Aus dem Satz von Löwenheim-Skolem folgt, dass ein Primmodell abzählbar ist.
  • Ist \mathcal T \aleph_0-kategorisch, so ist das abzählbare Modell ein Primmodell.
  • Zwei Primmodelle einer Theorie sind isomorph.
  • Eine Theorie hat genau dann ein Primmodell, wenn die isolierten Typen dicht liegen.

Beispiel einer Theorie ohne Primmodell[Bearbeiten]

Folgende Theorie der Sprache L besitzt kein Primmodell: Die Sprache L enthält für jedes s \in {}^{< \omega}2 ein einstelliges Prädikat P_s.

(Zur Notation: {}^{< \omega}2 ist die Menge aller endliche Folgen, die nur aus Nullen oder Einsen bestehen.)

Die Axiome der Theorie sind (s durchläuft alle endlichen Folgen):

\forall x P_0 (x)
\exists x P_s (x)
\forall x ((P_{s0}(x) \or P_{s1}(x))\leftrightarrow P_s(x))
\forall x \neg(P_{s0}(x) \and P_{s1}(x))

Die Theorie hat keine isolierten Typen und daher auch kein Primmodell.

Literatur[Bearbeiten]

  • Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
  • Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model Theory. Amsterdam [u.a.], North-Holland, 1998.
  • Prestel, Alexander: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg, Braunschweig 1986. (Vieweg-Studium; 60: Aufbaukurs Mathematik). ISBN 3-528-07260-1. 286 S.
  • Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.

Weblinks[Bearbeiten]