Primzahltupel

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Als Primzahltupel – auch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl \leq k im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz s zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss.[1]

Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime k-Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form (p, p+4) Primzahlencousins[2] und Tupel von zwei Primzahlen der Form (p, p+6) werden auch sexy Primzahlen[3] genannt.

Definition[Bearbeiten]

Ist für die Primzahltupel (p_1, \dots, p_k) mit k Elementen die Menge B aller möglichen Konstellationen b (die selbst wieder k-Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen:

  1. Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein:
    \forall i \in \{ 1, \dots, k \} : p_i \in \mathbb{P}
  2. Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl \leq k im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl \leq k mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:
    \forall m \in \left \{ x \in \mathbb{P} \mid x \leq k \right \} \exists r \in \left \{ x \in \mathbb{N} \mid x < m \right \} \forall i \in \{ 1, \dots, k \}: p_i \not\equiv r \mod m
    Lies: Für alle primen Module m kleiner-gleich k existiert ein Rest r kleiner als m, der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich dem Modul m.
    Die Aussagen "[...] zu allen [...] nicht [...]" und "[...] zu keiner [...]" sind äquivalent, siehe Quantor.
  3. Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der k-spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt):
    \max\left ( \left \{ p_i \mid i \in \{ 1, \dots, k \} \right \} \right ) - \min\left ( \left \{ p_i \mid i \in \{ 1, \dots, k \} \right \} \right ) = s
  4. Die Differenzen der Elemente zum ersten Element p_1 müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:
    \exists b \in B \; \forall i \in \{ 1, \dots, k \}: a_i - a_1 = b_i
    Wobei b_i für das i-te Element aus dem k-Tupel b steht.

Für vorgegebene, korrekte Konstellationen b ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen b.

Für prime 2-Tupel (also k=2) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind s und B wohlbekannt. Diese lauten:

s=2
B = \left \{ \left ( 0,2 \right ) \right \}

Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel (p_1, p_2):

  1. p_1, p_2 \in \mathbb{P}
  2. \left ( p_1 \equiv p_2 \equiv 0 \mod 2 \right ) \vee \left ( p_1 \equiv p_2 \equiv 1 \mod 2 \right )
  3. \max(p_1, p_2) - \min(p_1, p_2) = s = 2
  4. \left ( p_1 - p_1 = b_1 = 0 \right ) \wedge \left ( p_2 - p_1 = b_2 = 2 \right )

Durch die Bedingung 2 wird für jedes k eine endliche Anzahl an primen k-Tupeln ausgeschlossen. Im Falle k=2 wird die Konstellation b_2 = (0,1) bzw. das Primzahltupel (2,3) ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von s=1 und da alle prime k-Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich dem Modul m vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation b, welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul m enthalten. Im Falle von b = (0,1) kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation b in der Form (n+0, n+1) für n \in \mathbb{N} darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle n > 2 entweder p_1 oder p_2 größer als und teilbar durch 2 ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).

Sonderfälle[Bearbeiten]

Für die kleinsten k-Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen, sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.

Primzahlzwilling[Bearbeiten]

Hauptartikel: Primzahlzwilling

Primzahldrilling[Bearbeiten]

Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also k=3. 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge. Bei Primzahldrillingen der Form (p, p+2, p+6) bilden die beiden ersten, bei jenen der Form (p, p+4, p+6) die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation (p, p+2, p+4) ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich dem Modul m = 3.

Zwei Primzahl-Tripel, die zwei gemeinsame Primzahlen haben, jedoch nicht drei, bilden diese ein Primzahl-Quadrupel, sind also auch Primzahlvierlinge.

Wenn eine Primzahl Teil von drei unterschiedlichen Primzahl-Tripel ist, so bilden die beinhalteten Primzahlen zugleich auch ein Primzahl-Quintupel, sind also zugleich auch Primzahlfünflinge.

Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Dreiergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 400.000 ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 6 reduziert werden.

2013 wurde das bisher größte Primzahl-Triplett mit 16737 Dezimalstellen gefunden. Es lautet 6521953289619 × 255555 + d mit d = −5, -1, 1.[5]

Primzahlvierling[Bearbeiten]

Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also k=4. 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme (5, 7, 11, 13) lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch 60 teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit 1, 3, 7 und 9.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von 4 zueinander.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei sich überlappende Primzahl-Tripel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 25 Millionen ist.[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als x asymptotisch durch die Formel

C_4 \int_2^x\!\frac{\mathrm dt}{(\ln t)^4} \qquad\text{ mit }\qquad C_4 = \frac{27}{2} \prod_{p>4\atop p\;\text{prim}} \frac{p^3 (p-4)}{(p-1)^4} = 4{,}15118\text{ }08632\text{ }37415\text{ }75716...

(Folge A061642 in OEIS) gegeben.

Der bisher größte Primzahlvierling hat 3503 Dezimalstellen, wurde 2013 von Serge Batalov gefunden und ist gegeben durch 2339662057597 × 103490 + d mit d = 1, 3, 7, 9.[6]

Primzahlsechsling[Bearbeiten]

Primzahlsechslinge sind Elemente primer 6-Tupel, es gilt also k=6. 6-Tupel werden auch Sextupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlsechslingen auch prime Sextupel oder Primzahl-Sextupel genannt werden. Die Zahl in der Mitte des Tupels (also p+8) ist immer durch 15 teilbar, womit die Summe aller Primzahlen im Sextupel immer durch 90 teilbar sind.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von 6 zueinander.

Alle primen Sextupel enthalten vier Primzahl-Tripel mit je zwei einer unterschiedlichen Konstellation.

Alle primen Sextupel enthalten ein Primzahl-Quadrupel in der Mitte.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Primzahl-Quintupel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlsechslinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Primzahlachtling[Bearbeiten]

Primzahlachtlinge sind Elemente primer 8-Tupel, es gilt also k=8. 8-Tupel werden auch Oktupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlachtlinge auch die Bezeichnungen prime Oktupel oder Primzahl-Oktupel rechtfertigt.

Alle primen Oktupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Ob es unendlich viele Primzahlachtlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Konstellationen[Bearbeiten]

Im Folgenden steht n\# für die Primfakultät, also für das Produkt aller Primzahlen \leq n. Formal: n\# = \prod_{ p \in [1,n] \cap \mathbb{P} } p

k s Konstellation b[7] Kleinstes Primzahltupel[8] Größtes bekanntes Primzahltupel [9]
2 2 (0, 2) (3, 5) 3756801695685 · 2666669 - 1 + b
3 6 (0, 2, 6)
(0, 4, 6)
(5, 7, 11)
(7, 11, 13)
81505264551807 · 233444 - 1 + b
6521953289619 · 255555 - 5 + b
4 8 (0, 2, 6, 8) (5, 7, 11, 13) 2339662057597 · 103490 + 1 + b
5 12 (0, 2, 6, 8, 12)
(0, 4, 6, 10, 12)
(5, 7, 11, 13, 17)
(7, 11, 13, 17, 19)
699549860111847 · 24244 - 1 + b
163252711105 · 3371# : 2 - 8 + b
6 16 (0, 4, 6, 10, 12, 16) (7, 11, 13, 17, 19, 23) 219946485329 · 1399# : 2 - 8 + b
7 20 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20)
(0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31)
(5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
4079068497377 · 739# : 14 - 4 + b
251733155478 · 650# + 1146779 + b
8 26 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26)
(0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
330846961 · 503# + 349129635971 + b
4319152256906 · 400# + 1277 + b
12874261020824 · 465# + 88793 + b
9 30 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30)
(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
3336884 · 331# + 80877403191701 + b
74840399185 · 101# + 1277 + b
36273553 · 157# + 106263743005151 + 2 + b
68663510211259 · 337# + 88789 + b
10 32 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 32)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)
(9853497737, …)
24698258 · 239# + 28606476153371 + b
1025 + 22901748046151047 + b
11 36 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)
(1418575498573, …)
24698258 · 239# + 28606476153371 + b
701585568722266 · 113# + 12455557957 + 6 + b
12 42 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42)
(0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53)
(1418575498567, …)
467756 · 151# + 193828829641176461 + b
59125383480754 · 113# + 12455557957 + b
13 48 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 2, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36, 46, 48)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48)
(0, 6, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 48) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59)
(7697168877290909, …)
(10527733922579, …)
(1707898733581273, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(186460616596321, …)
14815550 · 107# + 4385574275277311 + b
381955327397348 · 80# + 18393209 + b
10527733922579 + b
1707898733581273 + b
14815550 · 107# + 4385574275277311 + 2 + b
381955327397348 · 80# + 18393209 + 2 + b
14 50 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50)
(0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50) 
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61)
(79287805466244209, …)
14815550 · 107# + 4385574275277311 + b
381955327397348 · 80# + 18393209 + b
15 56 (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56)
(0, 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 38, 44, 48, 50, 54, 56)
(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67)
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
(1158722981124148367, …)
(14094050870111867483, …)
107173714602413868775303366934621 + b
10004646546202610858599716515809907 + b
1003234871202624616703163933853 + 4 + b
1179182744110031765933 + b
16 60 (0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60)
(47710850533373130107, …)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)
5867208169546174917450987997 + 10 + b
1003234871202624616703163933853 + b
17 66 (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66)
(0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66) 
(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79)
(734975534793324512717947, …)
(1620784518619319025971, …)
100845391935878564991556707107 + b
11413975438568556104209245223 + b
5867208169546174917450987997 + b
5867208169546174917450987997 + b
18 70 (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70)
(0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70)
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83)
(2845372542509911868266807, …)
183837276562811649018077773 + b
5867208169546174917450987997 + b
19 76 (0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 76)
(0, 4, 6, 10, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 52, 60, 64, 66, 70, 72, 76)
(0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76) 
kein Primzahltupel nach dieser Konstellation bekannt
(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89)
(37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113)
(630134041802574490482213901, …)
kein Primzahltupel nach dieser Konstellation bekannt
13 + b
37 + b
2406179998282157386567481191 + b

Es existiert für jedes beliebig hohe k mindestens eine dazugehörige Konstellation. Solche lassen sich mit Computerhilfe mit einem simplen Brute-Force-Algorithmus finden.[10] Das Finden von Primzahltupeln zu vorgegebenen Konstellationen ist insbesondere für höhere k mit großem Rechenaufwand verbunden.

Anzahl[Bearbeiten]

Der trivial zu beweisende Satz von Euklid sagt aus, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Die sehr ähnlich erscheinende Fragestellung, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge, -drillinge, etc. gibt, konnte jedoch bis heute noch nicht geklärt werden. Bislang konnte lediglich bewiesen werden, dass unendlich viele Primzahlen mit einem Abstand zueinander von maximal 246 existieren.

Hauptartikel: Hardy-Littlewood-Vermutung

Laut der unbewiesenen ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der primen k-Tupel bis zu einer Grenze asymptotisch zu einer in der Vermutung aufgestellten Formel.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Prime Constellation. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  2. Eric W. Weisstein: Cousin Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  3. Eric W. Weisstein: Sexy Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
  4. a b "Bounded gaps between primes - Polymath1Wiki". Abgerufen am 13. Juni 2014.
  5. Yates, Caldwell: The Largest Known Primes
  6. Yates, Caldwell: The Largest Known Primes
  7. "Patterns". Abgerufen am 11. Juni 2014.
  8. "Smallest Prime k-tuplets". Abgerufen am 11. Juni 2014.
  9. "Prime k-tuplets". Abgerufen am 11. Juni 2014.
  10. T. J. Engelsma: k-tuple permissible patterns Resultate über sehr große Konstellationen