Produktmaß

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Ein Produktmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß auf dem Produkt von Maßräumen. Es ist dadurch charakterisiert, dass es einem kartesischen Produkt von Mengen das Produkt der Maße der einzelnen Mengen zuordnet. So ist das n-dimensionale Lebesgue-Borel-Maß auf dem \R^n gerade das n-fache Produktmaß des eindimensionalen Lebesgue-Borel-Maßes. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Produkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen zur Modellierung von stochastischer Unabhängigkeit verwendet.

Konstruktion des Produktmaßes[Bearbeiten]

Einführung[Bearbeiten]

Wenn man an die gewohnten reellen Zahlengeraden (also die x- und y-Achse) mit dem eindimensionalen Lebesgue-Maß \lambda_1 denkt, so ist es naheliegend, ein Maß \lambda_2 auf der Ebene \mathbb{R}^2 so zu definieren, dass für messbare Mengen A, B \subseteq \R gilt

\lambda_2(A \times B) = \lambda_1(A) \cdot \lambda_1(B).

Dann ergibt sich insbesondere für das zweidimensionale Maß eines Rechtecks

R = \{(x,y)\in\R^2 \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\} = [a,b] \times [c,d]

die Formel \lambda_2(R) = (b-a) \cdot (d-c), also die bekannte Formel, nach der die Fläche eines Rechtecks gleich dem Produkt seiner Seitenlängen ist.

Da bereits einfachste geometrische Figuren, wie Dreiecke oder Kreise, nicht als kartesische Produkte dargestellt werden können, muss die Mengenfunktion \lambda_2 noch zu einem Maß auf einer σ-Algebra fortgesetzt werden.

Produkte zweier Maße[Bearbeiten]

Für zwei beliebige Messräume (\mathbb{X}_1,\mathcal{A}_1) und (\mathbb{X}_2,\mathcal{A}_2) ist zunächst die Produkt-\sigma-Algebra \mathcal{A}=\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2 zu definieren. Diese ist die vom Produkt von \mathcal{A}_1 und \mathcal{A}_2

\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2 := \left\{A_1\times A_2 \mid A_1\in\mathcal{A}_1, A_2\in\mathcal{A}_2\right\}

erzeugte \sigma-Algebra, also die kleinste \sigma-Algebra, welche \mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2 enthält. (Dieser Schritt ist nötig, weil das Produkt \mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2 selbst im Allgemeinen keine \sigma-Algebra ist, sondern nur ein Halbring.)

Seien nun (\mathbb{X}_1,\mathcal{A}_1,\mu_1) und (\mathbb{X}_2,\mathcal{A}_2,\mu_2) zwei Maßräume. Man möchte dann analog zum obigen Beispiel auf der Produkt-σ-Algebra \mathcal{A}=\sigma(\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2) ein Maß \mu definieren, welches \mu(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2) erfüllt für alle A_1\in\mathcal{A}_1, A_2\in\mathcal{A}_2. Ein Maß \mu, das diese Bedingung erfüllt, wird dann Produktmaß genannt. Um zu zeigen, dass \mu ein Maß ist, kann man es etwa als Integral auf \mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2 darstellen: \forall A_1\times A_2\in\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2

\mu\left(A_1\times A_2\right)= \int_{\mathbb{X}_1} \mu_2\left(\left\{x_2\in \mathbb{X}_2\mid\left(x_1,x_2\right)\in A_1\times A_2\right\}\right) d\mu_1(x_1)

Solch ein Maß \mu existiert stets, wie man etwa mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory zeigen kann.

Allerdings ist ein solches Maß nicht notwendigermaßen eindeutig bestimmt. Wenn es sich jedoch um zwei σ-endliche Maßräume handelt, dann ist auch \mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2 σ-endlich und auf \mathcal{A} existiert genau ein Produktmaß \mu. Es wird mit \mu = \mu_1 \otimes \mu_2 bezeichnet.

Produkte endlich vieler Maße[Bearbeiten]

Sei ((\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i))_{i\in I} mit I=\{1,\ldots,n\} und n\in\mathbb{N} eine Familie von Maßräumen. Ein auf der dazugehörigen Produkt-\sigma-Algebra definiertes Maß \textstyle \mu \colon \bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i \rightarrow [0,\infty] heißt dann Produktmaß von (\mu_i)_i\in I, wenn für alle  \prod_{i\in I}A_i\in\prod_{i\in I}\mathcal{A}_i

\mu(\prod_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}\mu_i(A_i)

gilt. Die Existenz von \mu zeigt man mittels vollständiger Induktion über n mit Hilfe des Produkts zweier Maße. Analog hierzu erhält man die Eindeutigkeit von \mu nach dem Fortsetzungssatz, wenn \mu_i für alle i \in I \sigma-endlich ist.

Entsprechend definiert man mit \textstyle \bigotimes_{i\in I}(\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i):=(\prod_{i\in I}\mathbb{X}_i,\bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i,\bigotimes_{i\in I}\mu_i) den Produktmaßraum von ((\mathbb{X}_i,\mathcal{A}_i,\mu_i))_{i\in I}.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Mit Hilfe dieser Definition kann das Prinzip von Cavalieri in seiner allgemeinsten Form auf dem \R^n für jede (fast überall) Lebesgue-messbare Teilmenge formuliert werden.
  • Auch die Sätze von Fubini und Tonelli gelten unter der Voraussetzung σ-endlicher Maßräume ganz allgemein (also nicht unbedingt nur für den euklidischen Raum) für messbare Funktionen.
  • Für die Eindeutigkeitsaussage von \mu_1\otimes\mu_2 ist wirklich notwendig, dass beide Maßräume \sigma-endlich sind. Setzt man nämlich \mathbb{X}_1:=\mathbb{X}_2:=[0,1], \mathcal{A}_1:=\mathcal{A}_2:=\mathfrak{B}(\R)|_{[0,1]} (die auf [0,1] eingeschränkte borelsche σ-Algebra) und wählt für \mu_1 das Lebesguemaß, für \mu_2 das nicht σ-endliche Zählmaß, so gibt es mindestens drei verschiedene Produktmaße auf \mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2=\mathfrak{B}(\R^2)|_{[0,1]^2}, obwohl immer noch einer der Maßräume \sigma-endlich ist.
  • Das Produktmaß zweier vollständiger Maße ist im Allgemeinen nicht wieder vollständig, beispielsweise ist \{0\}\times A für jede Teilmenge A\subseteq\mathbb{R} eine \lambda^2-Nullmenge, aber nur für A\in\mathcal{L}(\R) liegt diese Menge in \mathcal{L}(\R)\otimes\mathcal{L}(\R), d.h. es gilt \mathcal{L}(\R)\otimes\mathcal{L}(\R)\subsetneq\mathcal{L}(\R^2)
  • Im Gegensatz dazu gilt für die Borelsche σ-Algebra \mathfrak{B}(\R^m)\otimes\mathfrak{B}(\R^n)=\mathfrak{B}(\R^{m+n}) für alle n,m\in\mathbb{N}.
  • Sind (\Omega_1, \Sigma_1, P_1) und (\Omega_2, \Sigma_2, P_2) zwei Wahrscheinlichkeitsräume, die jeweils ein Zufallsexperiment beschreiben, dann modelliert das Produkt (\Omega_1 \times \Omega_2, \Sigma_1 \otimes \Sigma_2, P_1 \otimes P_2) das gemeinsame Experiment, das darin besteht, die beiden Einzelexperimente unabhängig voneinander durchzuführen.

Literatur[Bearbeiten]