Produkttopologie

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist die Produkttopologie die „natürlichste“ Topologie, die ein kartesisches Produkt von topologischen Räumen selbst zu einem topologischen Raum macht.

Definition[Bearbeiten]

Für jedes i aus einer (möglicherweise unendlichen) Indexmenge I sei X_i ein topologischer Raum. Sei X = \textstyle \prod_{i\in I} X_i das kartesische Produkt der Mengen X_i. Für jeden Index i\in I bezeichne p_i\colon X\to X_i die kanonische Projektion. Dann ist die Produkttopologie auf X definiert als die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen p_i stetig sind. Man nennt X mit dieser Topologie den Produktraum der X_i.

Explizite Beschreibung[Bearbeiten]

Man kann die Topologie auf X explizit beschreiben. Die Urbilder offener Mengen der Faktorräume X_i unter den kanonischen Projektionen p_i\colon X\to X_i bilden eine Subbasis der Produkttopologie, d.h. eine Teilmenge Y\subset X ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Mengen Y^{(\alpha)} ist, die jeweils als endliche Durchschnitte von Mengen Y^{(\alpha)}_{i,k}:=p_i^{-1}(Y^{(\alpha)}_k) dargestellt werden können. Dabei liegt i in I und Y^{(\alpha)}_k sind offene Teilmengen von X_i. Daraus folgt, dass im Allgemeinen nicht alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen. Dies gilt nur, wenn I endlich ist.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

Der Produktraum X zusammen mit den kanonischen Projektionen p_i wird durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Ist Y ein topologischer Raum und für jedes i \in I ist f_i\colon Y \to X_i stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion f\colon Y \to X, so dass p_i\circ f = f_i für alle i \in I gilt. Damit ist das kartesische Produkt mit der Produkttopologie das Produkt in der Kategorie der topologischen Räume.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Wenn (X_1,d_1), (X_2,d_2) zwei metrische Räume sind, dann erhält man die Produkttopologie auf X_1\times X_2 mit der Metrik
d((p_1,p_2),(q_1,q_2)):=\sqrt{d_1(p_1,q_1)^2+d_2(p_2,q_2)^2}.
  • Die Produkttopologie auf dem n-fachen kartesischen Produkt \R^n der reellen Zahlen ist die gewöhnliche euklidische Topologie.
  • Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die X_i konvergieren. Insbesondere ist für den Raum \R^I aller Funktionen von I nach \R die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion f\colon Y \to X stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: f ist stetig genau dann, wenn alle p_i\circ f stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion g\colon X \to Z stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der p_i auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tichonow: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht für endliche Produkte zu zeigen, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von A. N. Tichonow entwickelt.

Sonstiges[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]