Projektive Dimension

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Die projektive Dimension ist ein homologischer Begriff aus der kommutativen Algebra. Sie misst, wie weit ein Modul davon entfernt ist, projektiv zu sein. Ein projektiver Modul hat die projektive Dimension Null.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Die projektive Dimension eines Moduls M über einem Ring A ist die kleinste Zahl r, sodass es eine exakte Sequenz

0 \longrightarrow P_r \longrightarrow P_{r-1} \longrightarrow \dots \longrightarrow P_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0

mit projektiven Moduln P_i (also eine projektive Auflösung) gibt, falls es überhaupt eine solche Zahl gibt, ansonsten unendlich.

Die projektive Dimension eines Moduls M über einem Ring A wird (u. a.) mit

r = \mathrm{proj.dim}_A(M)

notiert.

Drei Sätze über die projektive Dimension[Bearbeiten]

Es gelten folgende Sätze:

Erster Satz[Bearbeiten]

Ist M ein Modul über einem Ring A, so sind äquivalent:

  • r = \mathrm{proj.dim}_A(M).
  • Für alle A-Moduln N und alle n > r ist Extn(M,N)=0.

Zweiter Satz[Bearbeiten]

Ist M ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschem lokalen Ring A, so ist

\mathrm{proj.dim}_A(M)+\mathrm{tf}(M) = \mathrm{tf}(R)

Dabei ist \mathrm{tf}(M) die Tiefe des Moduls.

Dritter Satz[Bearbeiten]

Ist

0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M_2 \longrightarrow M_3 \longrightarrow 0

eine exakte Sequenz von A-Moduln, hat ein Modul M_i genau dann eine endliche projektive Dimension, wenn die anderen beiden Moduln eine endliche projektive Dimension haben.

In diesem Fall gilt:

\mathrm{proj.dim}_A(M_2) \le \mathrm{max}(\mathrm{proj.dim}_A(M_1),\mathrm{proj.dim}_A(M_3))

Beispiel[Bearbeiten]

Ist A ein regulärer lokaler Ring mit Restklassenkörper k, so ist

\mathrm{proj.dim}_A(k) = \mathrm{dim}(A)

Insbesondere gibt es damit Beispiele von Moduln von jeder beliebigen projektiven Dimension.

Globale Dimension[Bearbeiten]

Ist M ein A-Modul, so wird unter der globalen Dimension (auch: kohomologischen Dimension) die „Zahl“ r \in \N \cup \{\infty \} verstanden mit:

r=\mathrm{sup} \{\mathrm{proj.dim}_AM|M \text{ ist A-Modul}\}

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die globale Dimension eines Körpers ist Null.
  • Die globale Dimension eines Dedekindringes ist 1, falls er kein Körper ist.

Charakterisierung regulärer Ringe[Bearbeiten]

Ein noetherscher lokaler Ring ist genau dann regulär, wenn seine globale Dimension endlich ist. In diesem Fall ist seine globale Dimension gleich seiner Krulldimension.

Daraus folgt insbesondere die Aussage, dass die Lokalisierung lokaler regulärer Ringe wieder regulär ist.

Injektive Dimension[Bearbeiten]

Analog zur projektiven Dimension wird die injektive Dimension als die kleinste Länge einer injektiven Auflösung definiert.

Literatur[Bearbeiten]