Projektive Varietät

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In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition[Bearbeiten]

Es sei K ein fester, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der n-dimensionale projektive Raum über dem Körper K ist definiert als

P^{n}:=(K^{n+1}\setminus\{(0,\ldots,0)\})/\sim

für die Äquivalenzrelation

(x_0,\ldots,x_n) \sim (y_0,\ldots,y_n) \Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus\{0\}\colon x_i = \lambda y_i, i=0,\ldots,n.

Die Äquivalenzklasse des Punktes (x_0,\ldots,x_n) wird mit \left[x_0:\ldots:x_n\right] bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom f\in K[X_0,\ldots,X_n] und einen Punkt x=[x_0:\ldots:x_n] ist die Bedingung f(x_0,\ldots,x_n)=0 unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von x.

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

\{x\in P^n\mid f_1(x)=\ldots=f_k(x)=0\}

für homogene Polynome f_1,\ldots,f_k in K[X_0,\ldots,X_n] hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d.h. die Polynome f_1,\ldots,f_k sollen ein Primideal in K[X_0,\ldots,X_n] erzeugen.

Beispiele[Bearbeiten]

P^n \times P^m \to P^{(n+1)(m+1)-1}, (x_i, y_j) \mapsto x_iy_j (in lexikographischer Ordnung).

Invarianten[Bearbeiten]

  • Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes K\left[X_0,\ldots,X_n\right]/I, wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal I definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
  • Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von deg:Pic(X)\rightarrow \Z).