Projektives Objekt

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Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind projektive Objekte eine Verallgemeinerung des Begriffs der Freiheit in der Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Projektivesobjekt.png

Ein Objekt P einer Kategorie C heißt projektiv, wenn es zu jedem Epimorphismus  \alpha \colon A\rightarrow B und jedem  f\colon P \rightarrow B ein  f^*\colon P \rightarrow A  gibt, so dass  \alpha \circ f^* = f ist. Das heißt nebenstehendes Diagramm ist kommutativ. Also ist  P genau dann projektiv, wenn für alle Epimorphismen  \alpha\colon A \rightarrow B die induzierte Abbildung

 \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(P,A) \ni f^* \mapsto \alpha \circ f^*\in \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(P,B) surjektiv ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist in der Kategorie C jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt X\in \operatorname{Ob}(C) einen Epimorphismus P\rightarrow X, in dem P projektiv ist, so sagt man auch, C besitze genügend projektive Objekte. Diese Eigenschaft spielt eine Rolle im Zusammenhang mit abgeleiteten Funktoren. Beispielsweise besitzt die Kategorie der Gruppen genügend projektive Objekte, weil jede Gruppe Quotient einer freien Gruppe ist (Darstellung durch Erzeugende und Relationen).

Projektiver Modul[Bearbeiten]

In der Kategorie der Moduln kann man genaueres über projektive Moduln sagen.

Für einen Modul  P sind folgende Aussagen äquivalent.

  •  P ist projektiv.
  • Zu jedem Epimorphismus  f\colon M \rightarrow P gibt es  g\colon P \rightarrow M , so dass  f\circ g =\mathbf{1}_{P} gilt. Das heißt jeder Epimorphismus mit Ziel  P ist eine Retraktion.
  • Jeder Epimorphismus  f\colon M \rightarrow P zerfällt. Das heißt  \operatorname{Kern} (f) ist direkter Summand in  M .
  •  P ist isomorph zu einem direkten Summanden eines freien Moduls.
  • Der Funktor  \operatorname{Hom}(P,-) ist exakt.

Die direkte Summe einer Familie  (P_i|i \in I) von Moduln ist genau dann projektiv, wenn jedes  P_i projektiv ist. Insbesondere ist jeder direkte Summand eines projektiven Moduls projektiv. Das Produkt projektiver Moduln ist im Allgemeinen keineswegs projektiv. So ist beispielsweise  \Z^{\N} nicht projektiv.

Beispiele projektiver Moduln[Bearbeiten]

Dualbasislemma[Bearbeiten]

Ein Modul  P werde erzeugt von  (y_i|i \in I) . Der Modul  P ist genau dann projektiv, wenn es eine Familie  (f_i| i \in I) von Homomorphismen aus dem Dualraum  P^*\colon = \operatorname{Hom}(P,R) gibt mit:

  1. Für jedes  p \in P ist  f_i(p) \neq 0 nur für endlich viele  i\in I .
  2. Für jedes  p \in P ist \textstyle p= \sum_{i \in I} y_i f_i(p) .

Folgerungen aus dem Dualbasislemma[Bearbeiten]

  • Für jeden Rechtsmodul  P ist  P^*:= \operatorname{Hom}(P,R) ein Linksmodul über dem Ring  R . Dieser Modul heißt der zu  P duale Modul. Der Modul  P^{**}:= \operatorname{Hom}(P^*,R) ist wieder ein Rechtsmodul. Man hat den natürlichen Homomorphismus \begin{align}
\Phi(P)\colon P \ni p &\mapsto (\operatorname{Hom}(P,R) \ni \alpha \mapsto \alpha(p) \in R)\in P^{**} \end{align}. Ist  P projektiv, so ist  \Phi(P) injektiv.
  • Ist  P projektiv und endlich erzeugt, so ist  \Phi(P) ein Isomorphismus. Man sagt  P ist reflexiv.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe . B.G. Teubner , Stuttgart 1977 , ISBN 3-519-02211-7
  • T.Y. Lam: Lectures on Modules and Rings, Springer, New York 1999, ISBN 0-387-98428-3
  • Bodo Pareigis : Kategorien und Funktoren , B.G. Teubner, Stuttgart 1969