Projektivität

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Zentralkollineation: Für jeden Punkt P sind Z,P,\pi(P) kollinear

Eine Projektivität oder projektive Kollineation ist in der Geometrie eine besondere Kollineation einer projektiven Ebene oder Raum. Im einfachsten Fall ist eine Projektivität eine Zentralkollineation oder Perspektivität , d.h. es gibt einen Fixpunkt Z (das Zentrum) und alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Man definiert:

  • Eine Projektivität einer projektiven Ebene/Raum ist eine Kollineation, die sich durch ein Produkt (Hintereinanderausführung) von endlich vielen Perspektivitäten darstellen lässt.

Im Allgemeinen gibt es außer den Projektivitäten weitere Kollineationen. In einem reellen projektiven Raum allerdings ist jede Kollineation schon eine Projektivität. Eine nützliche Besonderheit der Projektivitäten ist:

  • Die Projektivitäten eines projektiven Raumes \mathcal P^n(K) über einem Körper K sind genau die Kollineationen, die sich im homogenen Modell durch lineare Abbildungen (Matrizen) beschreiben lassen.

Damit sind die Werkzeuge der linearen Algebra zur Untersuchung von Projektivitäten anwendbar.

Eine Kollineation, die keine Projektivität ist, gibt es z.B. in der projektiven Ebene \mathcal P^2(\C) über den komplexen Zahlen \C: Die projektive Fortsetzung der Kollineation (x,y)\to (\overline x,\overline y) der komplexen affinen Ebene ist keine Projektivität. Sie lässt sich im homogenen Modell nur durch eine semilineare Abbildung darstellen.

Eine projektive Kollineation sollte nicht verwechselt werden mit einer projektiven Abbildung. Letztere bildet einen projektiven Raum auf einen anderen ab.

Eigenschaften von Zentralkollineationen einer projektiven Ebene[Bearbeiten]

Zentralkollineation: Homologie
Zentralkollineation: Elation

Die hier aufgeführten Eigenschaften von Projektivitäten einer projektiven Ebene lassen sich relativ leicht auf höhere Dimensionen übertragen. Deshalb wird ab hier vorausgesetzt: Der projektive Raum ist eine projektive Ebene.

Damit die Menge der Projektivitäten eine Gruppe bildet, legt man fest:

  • Die Identität ist eine Projektivität.

Wenn im Folgenden von einer Projektivität die Rede ist, setzen wir meistens stillschweigend voraus, dass es sich nicht um die Identität handelt.

  • Eine Zentralkollineation \pi mit dem Zentrum Z besitzt immer eine Achse, d.h. es gibt eine Gerade a, die punktweise fest bleibt. Man sagt: \pi ist eine (Z,a)-Perspektivität. Falls Z auf a liegt, heißt \pi Elation, im anderen Fall (Z\notin a) Homologie[1] .

Beispiele im inhomogenen Modell \mathcal P^2(K): Die projektive Fortsetzung

  1. der Streckung am Nullpunkt (x,y) \to (sx,sy) ist eine Homologie mit Zentrum Z=(0,0) und Achse g_\infty.
  2. der Streckung an der x-Achse (x,y) \to (x,sy) ist eine Homologie mit Zentrum Z=(\infty) und x-Achse als Achse.
  3. der Translation (x,y) \to (x+c,y) ist eine Elation mit Zentrum Z=(0) und Achse g_\infty).
  4. der Scherung (x,y) \to (x+cy,y) ist eine Elation mit Zentrum Z=(0) und der x-Achse als Achse.
  • Für einen festen Punkt Z und eine feste Gerade a bildet die Menge \Pi(Z,a) der (Z,a)-Perspektivitäten eine Gruppe.
  • Ist a eine feste Gerade und ist \Pi(a) die Menge aller (Z,a)-Perspektivitäten, so gilt: \Pi(a) ist eine Gruppe.

Die letzte Aussage bedeutet: Die Hintereinanderausführung einer (Z,a)-Perspektivizät und einer (Z',a)-Perspektivität ist wieder eine Perspektivität mit Achse a und einem Zentrum Z'' auf der Gerade ZZ'.

Beispiele im inhomogenen Modell \mathcal P^2(\R) mit a=g_\infty:

  1. Die Hintereinanderausführung einer Elation mit (x,y)\to(x+a,y) und einer Elation mit (x,y)\to(x,y+b) ist die Elation mit (x,y)\to (x+a,y+b).
  2. Die Hintereinanderausführung der Homologie mit (x,y)\to (\tfrac{1}{2}x,\tfrac{1}{2}y) und der Homologie mit (x,y)\to (1+4(x-1),4y) ist die Homologie mit (x,y)\to (2x-3,2y).
  3. Die Hintereinanderausführung der Homologie mit (x,y)\to (-x,-y) und der Homologie mit (x,y)\to (1-(x-1),-y) ist die Elation mit (x,y)\to(x+2,y).

(Die Gültigkeit dieser Beispiele folgt daraus, dass in einer affinen Ebene die Hintereinanderausführung 1) zweier Translationen wieder eine Translation ist. 2) zweier Punkt-Streckungen eine Punktstreckung oder eine Translation ist. 3) einer Translation und einer Punktstreckung wieder eine Punktstreckung ist.)

Aus dem Dualitätsprinzip für projektive Ebenen folgt:

  • Jede achsiale Kollineation (es gibt eine Gerade, die nur Fixpunkte enthält) ist eine Zentralkollineation.

Man muss also achsiale Kollineationen nicht gesondert behandeln.

Über die Existenz und Eindeutigkeit von Zentralkollineationen macht der folgende Satz eine Aussage:

Satz (Baer)[2] :

  • Gilt in einer projektiven Ebene der Satz von DESARGUES, so gilt: Ist a eine Gerade und sind Z,P,P' drei kollineare Punkte mit P,P'\notin a, so gibt es genau eine (Z,a)-Perspektivität (Zentralkollineation mit Zentrum Z, Achse a), die P auf P' abbildet.

(Eine desarguessche Ebene lässt sich mit einem Schiefkörper koordinatiseieren.)

Eigenschaften von Projektivitäten in einer projektiven Ebene über einem Körper[Bearbeiten]

In diesem Fall gilt:

  • Die Menge der Projektivitäten einer projektiven Ebene \mathcal P^2(K) über einem Körper K (pappussche Ebene) ist die Menge der Kollineationen, die von regulären 3x3-Matrizen im homogenen Modell induziert werden. Man bezeichnet sie mit PGL(3,K) (Projektive lineare Gruppe).

Da Vielfache der Einheitsmatrix nur die Identität induzieren, darf man die Matrix einer Projektivität mit solch einem Vielfachen der Einheitsmatrix multiplizieren ohne dass sich die Wirkung der Projektivität ändert.

Eine kennzeichnende Invariante der Projektivitäten ist das Doppelverhältnis:

  • Die Projektivitäten einer pappusschen projektiven Ebene sind diejenigen Kollineationen, die das Doppelverhältnis invariant lassen.
Projektive Ebene: allgemeine Lage von 4 Punkten

Die Rolle von Basispunkten einer projektiven Ebene übernehmen Punkte-Quadrupel in allgemeiner Lage (oder auch Rahmen):

  • Vier Punkte A,B,C,D heißen in allgemeiner Lage, wenn keine drei auf einer Gerade liegen.

Es gilt:

  • Vier Punkte A,B,C,D (einer pappusschen projektiven Ebene) in allgemeiner Lage lassen sich in geeigneten homogenen Koordinaten immer beschreiben durch:
A=(1\colon 0 \colon 0), \ B=(0 \colon 1 \colon 0), \ C=(0\colon 0 \colon 1), D=(1\colon 1\colon 1)\ .

Eine für die Untersuchung von Projektivitäten wichtige Aussage ist der

Hauptsatz [3] :

  • Lässt eine Projektivität einer pappussche projektiven Ebene vier Punkte in allgemeiner Lage fest, so ist sie die Identität.

Eine Folgerung des Hauptsatzes ist:

  • Sind A,B,C,D und A',B',C',D' jeweils vier Punkte (einer pappusschen projektiven Ebene) in allgemeiner Lage, so gibt es genau eine Projektivität \pi mit \pi(A)=A',\pi(B)=B',\pi(C)=C',\pi(D)=D'.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, S.96
  2. Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, S.98
  3. Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, S. 125

Literatur[Bearbeiten]

  • Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, S. 93, 124.
  • Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
  • P. Dembowski, Finite Geometries, Springer-Verlag (1968) ISBN 3-540-61786-8
  • Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: Projective Planes. Springer, Berlin u.a. 1973, ISBN 3-540-90044-6.
  • Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akademie Verlag, Leipzig 1965, DNB 452996449.
  • Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie I, Bibliograph. Institut Hochschultaschenbücher 158/158a, 1969, S. 83
  • Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin u.a. 1975, ISBN 3-540-07280-2.
  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1
  • Olaf Tamaschke: Projektive Geometrie I, Bibliogr. Institut, Hochschulskripten 829/829a, 1968, S. 84