Proportionalität

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Dieser Artikel behandelt das Verhältnis zweier Größen. Für den Fachbegriff Proportionen siehe Verhältnisgleichung.

Proportionalität besteht zwischen zwei veränderlichen Größen, wenn sie immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen.

Grundlagen[Bearbeiten]

Proportionale Größen sind verhältnisgleich, das heißt, bei proportionalen Größen ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der anderen Größe verbunden, oder allgemein gesagt: Die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen reellen Faktor (dem Verhältnis der beiden Größen, genannt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante) hervor.

Beispiele:

  • Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl \pi = 3,14159…
  • Bei einem Kauf ist der Betrag der Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (19 Prozent).
  • Die Masse einer Flüssigkeit ist proportional ihrem Volumen (siehe ausführliches Beispiel unten).

Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität, genauer: der Affinität (siehe Lineare Funktion). Linear ist in diesem Sinne jeder Zusammenhang zwischen zwei Größen, dessen Darstellung in x-y-Koordinaten eine Gerade ist. Proportionalität bedeutet, dass diese Gerade durch den Nullpunkt (Koordinatenursprung) geht.

Im Gegensatz zur Proportionalität ist bei der Antiproportionalität (reziproken, inversen, umgekehrten oder indirekten Proportionalität) eine Größe proportional dem Kehrwert der anderen Größe; statt des Verhältnisses ist hierbei also das Produkt der beiden Größen konstant. Der Graph ist eine Hyperbel und geht nicht durch den Nullpunkt.

Mathematische Definition[Bearbeiten]

Geometrische Definition

Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3-6.

Definition 5 lautet:

„Man sagt, dass Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfachung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind.“

Definition 6:

„Und die dieses Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion stehend heißen.“

Arithmetische Definition

Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten x_i und ihren Funktionswerten y_i:

y_i = m \cdot x_i \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{y_i}{x_i} = m
Funktionsgraph für einen proportionalen Zusammenhang

Proportionalität liegt genau dann vor, wenn das Verhältnis aller Wertepaare (y_i, x_i) gleich ist, d. h. der Wert von m konstant ist. Der Faktor m ist dann der Proportionalitätsfaktor.

Die Funktion ist dadurch gekennzeichnet, dass ihr Graph eine Gerade ist, die durch den Ursprung verläuft. Der Proportionalitätsfaktor m bestimmt die Steigung der Gerade.

Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an:

Volumen x in m3 Masse y in t
3 2,4
4 3,2
7 5,6

Die drei Wertepaare sind im Bild (rechts) als Punkte markiert. Berechnet man den Quotienten y/x, Masse/Volumen, so erhält man stets den gleichen Wert, 0,8 t/m3, die Dichte des Öls. Allgemein gibt der Quotient y/x die Steigung m der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung. Auch der umgekehrte Quotient ist eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall das spezifische Volumen. Im Beispiel erhält man Volumen/Masse = 1,25 m3/t, also wie viel Volumen eine Tonne des Öls einnimmt.

Den Kalkül zur Berechnung proportionaler Funktionen nennt man den Dreisatz (früher auch: Regeldetri).

Schreibweise[Bearbeiten]

Für „a ist proportional zu b“ verwendet man gemäß DIN 1302 das Tilde-Zeichen „~“:

a \sim b

Ebenfalls genormt ist die Schreibweise:

a \propto b

Das Zeichen leitet sich aus dem mittelalterlichen »æ« für lat. aequalis, dem Vorgänger des Gleichheitszeichens ab.

Zeichen HTML TeX Unicode ASCII
~ ∼ oder ∼ \sim U+223C 126 oder U+007E
∝ oder ∝ \propto U+221D

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Es wird von Überproportionalität zwischen zwei Größen gesprochen, wenn die eine sich immer stärker ändert als die andere. Entsprechend spricht man von Unterproportionalität bei einer systematisch schwächeren Änderung der anderen Größe. „Stärker“ und „schwächer“ bedeuten hierbei, wenn man es auf die Formulierung mit der Geradengleichung y = m x^a mit einem Exponenten a bezieht, dass bei normaler Proportionalität a = 1, bei Überproportionalität a > 1 und bei Unterproportionalität a < 1 gilt.