Proportionalität

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Dieser Artikel behandelt das Verhältnis zweier Größen. Für den Fachbegriff Proportionen siehe Verhältnisgleichung.

Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht Proportionalität, wenn sie immer in demselben Verhältnis zueinander stehen.

Grundlagen[Bearbeiten]

Proportionale Größen sind verhältnisgleich, das heißt, bei proportionalen Größen ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der anderen Größe verbunden, oder allgemein gesagt: Die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen reellen Faktor hervor. Das Verhältnis der beiden Größen wird Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.

Beispiele:

  • Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl \pi = 3,14159…
  • Bei einem Kauf ist die Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (19 Prozent).
  • Die Masse einer Flüssigkeit ist proportional ihrem Volumen (siehe ausführliches Beispiel unten).

Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität, genauer: der Affinität (siehe Lineare Funktion). Linear ist in diesem Sinne jeder Zusammenhang zwischen zwei Größen, deren Darstellung in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade ist. Proportionalität bedeutet, dass diese Gerade durch den Nullpunkt (Koordinatenursprung) geht (Ursprungsgerade); der Proportionalitätsfaktor bestimmt deren Steigung.

Gelegentlich wird auch von direkter Proportionalität gesprochen im Gegensatz zur indirekten, inversen, umgekehrten oder reziproken Proportionalität, bei der eine Größe proportional dem Kehrwert der anderen Größe ist; statt des Verhältnisses ist hierbei also das Produkt der beiden Größen konstant. Der Graph ist eine Hyperbel und geht nicht durch den Nullpunkt.

Der Kalkül des Dreisatzes setzt eine proportionale Funktion voraus.

Mathematische Definition[Bearbeiten]

Historische Definition[Bearbeiten]

Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3–6.

Definition 5 lautet:

„Man sagt, dass Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfachung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind.“

Definition 6:

„Und die dieses Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion stehend heißen.“

Aktuelle Definition[Bearbeiten]

Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten x und ihren Funktionswerten y:

y = m \cdot x

mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor m.

Zwei Variable, für die das Verhältnis zusammengehöriger Werte x_i und y_i konstant ist, heißen proportional zueinander[1]

\frac{y_i}{x_i} = m .

Proportionalität liegt demnach genau dann vor, wenn dieses Verhältnis m konstant ist, dabei positiv oder negativ sein kann (und somit reell ist).

Beispiel[Bearbeiten]

Funktionsgraph für einen proportionalen Zusammenhang

Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an:

Volumen x in m3 Masse y in t
3 2,4
4 3,2
7 5,6

Die drei Wertepaare sind im Bild (rechts) als Punkte markiert. Berechnet man den Quotienten y/x, Masse/Volumen, so erhält man stets denselben Wert 0,8 t/m3. Allgemein gibt der Quotient y/x die Steigung der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung, hier mit der Bedeutung der Dichte des Öls. Auch der umgekehrte Quotient x/y ist eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall mit der Bedeutung des spezifischen Volumens. Im Beispiel erhält man
Volumen/Masse = 1,25 m3/t

Schreibweise[Bearbeiten]

Für „a proportional zu b“ verwendet man das Tilde-Zeichen „~“: [2][3]

a \sim b

Ebenfalls genormt ist die Schreibweise:

a \propto b

Das Zeichen \propto leitet sich aus dem mittelalterlichen »æ« für lat. aequalis, dem Vorgänger des Gleichheitszeichens ab.

Zeichen HTML TeX Unicode ASCII
~ ∼ oder ∼ \sim U+223C 126 oder U+007E
∝ oder ∝ \propto U+221D

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Es wird von Überproportionalität zwischen zwei Größen gesprochen, wenn die eine sich immer stärker ändert als die andere. Entsprechend spricht man von Unterproportionalität bei einer systematisch schwächeren Änderung der anderen Größe. „Stärker“ und „schwächer“ bedeuten hierbei, wenn man es auf die Formulierung mit der Geradengleichung y = m x^a mit einem Exponenten a bezieht, dass bei normaler Proportionalität a = 1, bei Überproportionalität a > 1 und bei Unterproportionalität a < 1 gilt.

Siehe auch[Bearbeiten]

 Wiktionary: proportional – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siegfried Völkel u. a.: Mathematik für Techniker. Carl Hanser, 2014, S. 45
  2. DIN 1302:1999: Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
  3. DIN EN ISO 80000-2:2013: Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematische Zeichen für Naturwissenschaft und Technik