Pushout

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Das Pushout, auch cokartesisches Quadrat oder Fasersumme genannt, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um die zum Pullback duale Konstruktion.

Pushout von Moduln[Bearbeiten]

PushOut.png

Es seien \alpha_1:X\rightarrow X_1 und \alpha_2:X\rightarrow X_2 zwei Homomorphismen zwischen Moduln über einem Ring R. Setzt man Q:=\{(\alpha_1(x),\alpha_2(x));\,x\in X\}\subset X_1\oplus X_2, so ist das Pushout von \alpha_1 und \alpha_2 definiert als

P:=(X_1\oplus X_2)/Q mit den Homomorphismen
\varphi_1:X_1\rightarrow P,\, \varphi_1(x_1):=(x_1,0)+Q und
\varphi_2:X_2\rightarrow P,\, \varphi_2(x_2):=(0,-x_2)+Q

Man kann zeigen, dass \varphi_1\circ \alpha_1 = \varphi_2\circ \alpha_2 und dass P,\varphi_1,\varphi_2 die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist Y irgendein R-Modul mit Homomorphismen \psi_1:X_1\rightarrow Y und \psi_2:X_2\rightarrow Y, so dass \psi_1\circ \alpha_1 = \psi_2\circ \alpha_2, so gibt es genau einen Homomorphismus \rho: P \rightarrow Y mit \psi_1 = \rho \circ \varphi_1 und \psi_2 = \rho \circ \varphi_2.[1]

Pushout in Kategorien[Bearbeiten]

Durch obiges Beispiel motiviert, definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt[2].

Es seien \alpha_1:X\rightarrow X_1 und \alpha_2:X\rightarrow X_2 zwei Morphismen einer Kategorie. Ein Paar (\varphi_1,\varphi_2) von Morphismen \varphi_i:X_i \rightarrow P dieser Kategorie heißt Pushout von (\alpha_1,\alpha_2), falls gilt:

  • \varphi_1\circ \alpha_1 = \varphi_2\circ \alpha_2
  • Ist (\psi_1,\psi_2) ein Paar von Morphismen \psi_i:X_i\rightarrow Y mit \psi_1\circ \alpha_1 = \psi_2\circ \alpha_2, so gibt es genau einen Morphismus \rho:P\rightarrow Y mit \psi_1 = \rho \circ \varphi_1 und \psi_2 = \rho \circ \varphi_2.

Manchmal nennt man nur das Objekt P ein Pushout und meint damit, dass es Morphismen \varphi_i:X_i \rightarrow P gibt, die obiger Definition genügen. Auch das Diagramm


\begin{array}{ccc} 
X & \xrightarrow{\alpha_1} & X_1 \\
\downarrow_{\alpha_2} &  & \downarrow_{\varphi_1}\\
X_2 & \xrightarrow{\varphi_2} & P
\end{array}

wird bisweilen als Pushout bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jedes Pullback in einer Kategorie \mathcal{K} ist ein Pushout in der dualen Kategorie \mathcal{K}^{op}, denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept.
  • In einer abelschen Kategorie ist das Pushout zu

\begin{array}{ccc} 
X & \xrightarrow{\alpha_1} & X_1 \\
\downarrow_{0} &  &\\
0 & & 
\end{array}
gleich dem Kokern von \alpha_1.
  • Ist mit obigen Bezeichnungen X das Nullobjekt einer additiven Kategorie, so ist das Pushout gleich der direkten Summe X_1\oplus X_2.
  • Das einleitende Beispiel zeigt, dass es in der Kategorie der R-Moduln stets Pushouts gibt.
  • In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout. Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem freien Produkt X_1*X_2 modulo dem von \{\alpha_1(x)\alpha_2(x)^{-1};\, x\in X\} erzeugten Normalteiler N mit den natürlichen Abbildungen \varphi_i:X_i\rightarrow X_1*X_2 \rightarrow X_1*X_2/N[3] Diese Konstruktion tritt beim Satz von Seifert-van Kampen auf.
  • In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem Tensorprodukt X_1\otimes_X X_2.
  • In der Kategorie der Ringe mit Einselement gibt es nicht immer ein Pushout.[4]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Louis D. Tarmin: Lineare Algebra, Moduln 2, Buch X Verlag (April 2008), ISBN 3-9346-7151-9, Satz 4.158.3
  2. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Definition 4.1
  3. Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups. Springer, Graduate Texts in Mathematics, 1995, ISBN 0-3879-4285-8, Theorem 11.58
  4. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Aufgabe 1 zu §1.8