Pythagoraszahl

Die Pythagoraszahl eines Körpers $F$ ist definiert als das kleinste $p(F) \in \Bbb{N}$, so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in $F$ schon als Summe von $p(F)$ Quadraten schreiben lässt.

Definition

Für einen Körper $F$ sei

$\sum F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\in\Bbb{N}, a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}$

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

$\sum^k F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\leq k , a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}$

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in $F$, die höchstens Länge $k$ haben. Offensichtlich gilt $\sum^k F^2 \subseteq \sum F^2$ für alle $k\in\Bbb N$. Unklar ist dagegen, ob immer ein $k\in\Bbb N$ existiert, so dass $\sum^k F^2 = \sum F^2$. Als Pythagoraszahl von $F$ bezeichnen wir die folgende Größe:

$p(F) := \min\left\{ k\in \Bbb N \cup \{\infty\} \;\Big|\; \sum^k F^2 = \sum F^2 \right\}$

wobei $p(F) = \infty$ genau dann, wenn $\sum^k F^2 \varsubsetneq \sum F^2$ für alle $k\in\Bbb N$ gilt. Es ist stets $p(F) \geq 1$.

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper

1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für $a_1, \ldots, a_n \in \Bbb R$ ein $b\in\Bbb R$, so dass $a_1^2 + \ldots + a_n^2 = b^2$. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen $p(\Bbb R) = 1$. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in $\Bbb R$ die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen $p(\Bbb C) = 1$.
3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen $p(\Bbb Q) = 4$, d.h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise

Satz Falls $F$ nicht-reeller Körper (d.h. $-1 \in \sum F^2$), lässt sich die Pythagoraszahl von $F$ abschätzen durch die Stufe $s(F)$ von $F$:

$s(F) \leq p(F) \leq s(F)+1$

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

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Falls $F$ ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade , nach dem für einen beliebigen Körper $F$ mit $\text{char}(F) > 0$ gilt, dass $s(F) \leq 2$ (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass $p(F) \leq 3$.

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Ganz exakt kann man im Fall $F = \Bbb F_q$ werden, wo $q$ eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz $p(\Bbb F_q) = 2$ für alle $q = p^n$ wo $p >2$ prim und $n > 0$ ist.

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen

Sei $F/\Bbb Q$ eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter $d = \text{trdeg}(F)$ der Transzendenzgrad von $F$ über $\Bbb Q$.

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass $p(F) \leq 2^{d+2}$ für alle $d$ gilt.

Wegen $p(\Bbb Q) = 4$ ist diese Abschätzung scharf für $d=0$.

Für $d=1$ wurde bisher $p(F) \leq 6$ gezeigt . Vermutlich gilt aber sogar $p(F) \leq 5$, was dann wegen $p(\Bbb Q(t)) = 5$ eine scharfe Abschätzung wäre.

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von $p(F) \leq 2^{d+2}$ findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s.u.

Siehe auch

• Pythagoreischer Körper

Weblinks

• Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern