Pythagoraszahl

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Die Pythagoraszahl eines Körpers F ist definiert als das kleinste p(F) \in \Bbb{N}, so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in F schon als Summe von p(F) Quadraten schreiben lässt.[1]

Definition[Bearbeiten]

Für einen Körper F sei

\sum F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\in\Bbb{N}, a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

\sum^k F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\leq k , a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in F, die höchstens Länge k haben. Offensichtlich gilt \sum^k F^2 \subseteq \sum F^2 für alle k\in\Bbb N. Unklar ist dagegen, ob immer ein k\in\Bbb N existiert, so dass \sum^k F^2 = \sum F^2. Als Pythagoraszahl von F bezeichnen wir die folgende Größe:

p(F) := \min\left\{ k\in \Bbb N \cup \{\infty\} \;\Big|\; \sum^k F^2 = \sum F^2 \right\}

wobei p(F) = \infty genau dann, wenn \sum^k F^2 \varsubsetneq \sum F^2 für alle k\in\Bbb N gilt. Es ist stets p(F) \geq 1.

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper[Bearbeiten]

  1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für a_1, \ldots, a_n \in \Bbb R ein b\in\Bbb R, so dass a_1^2 + \ldots + a_n^2 = b^2. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen p(\Bbb R) = 1. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in \Bbb R die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
  2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen p(\Bbb C) = 1.
  3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen p(\Bbb Q) = 4, d.h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise[Bearbeiten]

Satz Falls F nicht-reeller Körper ist, (das heißt -1 \in \sum F^2,) lässt sich die Pythagoraszahl von F abschätzen durch die Stufe s(F) von F:

s(F) \leq p(F) \leq s(F)+1

Beweis: Siehe Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)


Falls F ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade [2], nach dem für einen beliebigen Körper F mit \text{char}(F) > 0 gilt, dass s(F) \leq 2 (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass p(F) \leq 3.


Ganz exakt kann man im Fall F = \Bbb F_q werden, wo q eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz p(\Bbb F_q) = 2 für alle q = p^n wo p >2 prim und n > 0 ist.

Beweis: Siehe Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen[Bearbeiten]

Sei F/\Bbb Q eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter d = \text{trdeg}(F) der Transzendenzgrad von F über \Bbb Q.

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass p(F) \leq 2^{d+2} für alle d gilt.

Wegen p(\Bbb Q) = 4 ist diese Abschätzung scharf für d=0.

Für d=1 wurde bisher p(F) \leq 6 gezeigt [3]. Vermutlich gilt aber sogar p(F) \leq 5, was dann wegen p(\Bbb Q(t)) = 5 eine scharfe Abschätzung wäre. [4]

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von p(F) \leq 2^{d+2} findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s.u.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133-136
  2. A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
  3. Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
  4. Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971

Weblinks[Bearbeiten]