Pythagoreisches Komma

Das pythagoreische Komma ist in der Musik ein Intervall von etwa einem Achtelton, welches nicht als selbständiger musikalischer Tonschritt gebraucht wird. Während in der heute gebräuchlicheren gleichstufigen Stimmung sieben Oktaven genau zwölf Quinten entsprechen, gibt es in der theoretisch wohlklingendsten, sogenannten reinen Stimmung einen Unterschied zwischen sieben Oktaven und zwölf Quinten. Dieser Unterschied wird in der gleichstufigen Stimmung auf die zwölf Quinten verteilt. Man erhält dabei eine Temperierung, bei der sich die Quinten (700 Cent) nur unwesentlich von den reinen Quinten (702 Cent) unterscheiden. Jedoch unterscheiden sich die gleichstufigen Terzen - und das wird häufig übersehen - deutlich hörbar von den reinen Terzen. Dieser Unterschied bei den Terzen - das Syntonisches Komma - ist fast gleich dem pythagoreischen Komma.

Praktische Relevanz erhält das Komma beim Stimmen von Instrumenten mit festen Tonhöhen. Darunter fallen zum Beispiel Tasteninstrumente sowie Saiteninstrumente mit Bünden.

Anschauliche Herleitung

Die Bedeutung des pythagoreischen Kommas geht aus folgender Tabelle hervor, in der gemäß der Quintenspirale zwölf reine Quinten aufeinandergesetzt werden. Diese haben je ein Frequenzverhältnis von 3:2. Daneben sind sieben Oktaven aufeinandergesetzt. (Im Beispiel wird C als Grundton verwendet.)

Ton Quinte Frequenzverhältnis entspricht C 0 1 : 1 =  1 G 1 3 : 2 =  1,5 d 2 9 : 4 =  2,25 a 3 27 : 8 =  3,375 e¹ 4 81 : 16 =  5,0625 h¹ 5 243 : 32 =  7,59375 fis² 6 729 : 64 =  11,390625 cis³ 7 2187 : 128 =  17,0859375 gis³ 8 6561 : 256 =  25,62890625 dis⁴ 9 19683 : 512 =  38,443359375 ais⁴ 10 59049 : 1024 =  57,6650390625 eis⁵ 11 177147 : 2048 =  86,49755859375 his⁵ (≈ c⁶) 12 531441 : 4096 =  129,746337890625

Ton Oktave Frequenzverhältnis C 0 1 : 1 c 1 2 : 1 c¹ 2 4 : 1 c² 3 8 : 1 c³ 4 16 : 1 c⁴ 5 32 : 1 c⁵ 6 64 : 1 c⁶ 7 128 : 1

Der Unterschied der beiden Töne (letzte in den Tabellen) ergibt ein Frequenz-Verhältnis von

$\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}} {2^7} = \frac{3^{12}}{2^{19}} \approx {1{,}01364} \widehat{\approx}\ \text {23,46 Cent}.$

Hinweis: Beim Vergleich von Intervallen verwendet man die Einheit Cent, wobei 1 Oktave = 1200 Cent ist.

Zweite Berechnung: $12 \text{ Quinten} - 7 \text{ Oktaven} = 12 \cdot 701,955 \text{ Cent} - 7 \cdot 1200 \text{ Cent} = 23,46 \text{ Cent}.$

Das Intervall mit diesem Verhältnis wird Pythagoreisches Komma genannt.

Das Pythagoreische Komma als Problem beim Stimmen von Tasteninstrumenten

Ein Instrument (wie die modernen Tasteninstrumente), das pro Oktave nur zwölf verschiedene Töne erzeugen kann, lässt sich nicht so stimmen, dass es in allen Tonarten mit absolut reinen Intervallen gespielt werden kann. Einerseits gibt es verschieden große Ganztöne, die sich um ein syntonisches Komma unterscheiden, andererseits unterscheiden sich zwölf Quinten von sieben Oktaven um das pythagoreische Komma. In der Praxis wird versucht, beim Stimmen von Tasteninstrumenten das syntonische und das pythagoreische Komma möglichst sinnvoll auf alle Töne zu verteilen. Nach verschiedenen Theorien ergeben sich dann die verschiedenen musikalischen Stimmungen. Es gab auch Versuche mit Tasteninstrumenten, deren Oktave mehr als zwölf Töne umfasst (z. B. geteilte schwarze Tasten).

Zwölf reine Quinten (2:3) ergeben 8423,46 Cent, sieben Oktaven dagegen nur 8400 Cent. Damit sich in gleichstufig-temperierter Stimmung die Quintenspirale nach sieben Oktaven zum Quintenzirkel schließt, muss das Pythagoreische Komma beim Stimmen auf die zwölf Quinten verteilt werden. Damit wird die reine Quinte von 701,9550 Cent nur geringfügig um 1,9550 Cent auf 700 Cent verkleinert.

In der Gregorianik und der Musik bis ins Spätmittelalter wurde die pythagoreische Stimmung verwendet. Die in der pythagoreischen Stimmung ergebende pythagoräische Terz spielte bei ein- oder zweistimmiger (Quinten, Quarten) Musik keine Rolle. Mit dem Aufkommen der in der Mehrstimmigkeit sich bildenden Akkordverbindungen wurde bald die reine Terz mit dem Frequenzverhältnis ⁵/₄ als Konsonanz anerkannt. Damit wurde die pythagoreische Stimmung unbrauchbar. Lange Zeit verwendete man mitteltönige Stimmungen, die die reine Stimmung am besten wiedergaben, jedoch viele Tonarten ausschlossen. Zu J.S. Bachs Zeit wuchs das Bedürfnis, in allen Tonarten spielen zu können. Über unzählige Versuche mit wohltemperierten Stimmungen hat sich heutzutage fast durchgängig die gleichstufige Stimmung bei Tasteninstrumenten durchgesetzt. Und hier schließt sich der Kreis: Man verwendet wieder die - um das pythagoreische Komma korrigierte - pythagoreische Stimmung. Die um nur 2 Cent verstimmten Quinten hört man durch ihre Schwebungen etwas "gefärbt", die immerhin um 14 Cent erhöhte große Terz wird als "geschärft" notgedrungen in Kauf genommen.

Reine Quinte: $1200 \cdot \log_2 \left({3\over 2}\right)\;\mathrm{Cent} \approx 701{,}9550\;\mathrm{Cent}$, Gleichstufige Quinte: 700 Cent.

Reine große Terz: $1200 \cdot \log_2 \left({5\over 4}\right)\;\mathrm{Cent} \approx 386{,}3137\;\mathrm{Cent}$, Gleichstufige große Terz: 400 Cent.

Geschichte

Als erster definierte der Pythagoreer Philolaos das pythagoreische Komma. Er orientierte sich an der Stimmung einer Lyra und ordnete Verhältnissen von Saitenlängen Tonintervalle zu: 2:1 für die Oktave, 3:2 für die Quinte und 4:3 für die Quarte. Den Ganzton erklärt er als Intervall zwischen Quarte und Quinte. Da der "Addition" von Intervallen die Multiplikation der zugehörigen Verhältnisse (als rationale Zahlen) entspricht, gilt für das zum Ganzton gehörende Verhältnis x die Gleichung $\frac 4 3\cdot x = \frac 3 2$, also $x = \frac 9 8 = \frac {3^2} {2^3}$. Dem Ganzton entspricht so das Verhältnis 9:8. Philolaos definiert nun den (kleinen) Halbton als Differenz zwischen einer Quarte und zwei Ganztönen. Die zugehörige Gleichung ist dann $\frac 9 8\cdot \frac 9 8\cdot x = \frac 4 3$, also $x = \frac {256} {243} = \frac {2^8} {3^5}$. Zwei kleine Halbtöne ergeben aber zusammen noch keinen Ganzton. Der Unterschied definiert Philolaos als (pythagoreisches) Komma. Dessen Gleichung ist dann: $\frac {256} {243}\cdot \frac {256} {243}\cdot x = \frac 9 8$. Daraus folgt: $x = \frac {531441} {524288} = \frac {3^{12}} {2^{19}}$. Das pythagoreische Komma ist daher ein Intervall mit dem Verhältnis 531441:524288.

Diese Beziehung lässt sich auch so schreiben: $2^{7}\cdot x = \left(\frac 3 2\right)^{12}$. In dieser Form sagt sie, dass 7 Oktaven das gleiche Intervall umfassen wie 12 Quinten.

Philolaos definiert zwar den Ganzton und den kleinen Halbton (Diesis), berechnet aber die zugehörigen Verhältnisse nicht. Die erste Nennung der Komma-Proportion 531441:524288 findet sich bei Euklid. Er stellt fest, dass 6 Ganztöne ein größeres Intervall bilden als eine Oktave. Die Differenz ist wieder das pythagoreische Komma. Einem Intervall mit 6 Ganztönen entspricht das Verhältnis $\left(\frac 9 8\right)^6$, der Oktave das Verhältnis 2:1. Das zur Differenz gehörende Verhältnis x berechnet sich also aus $2 \cdot x = \left(\frac 9 8\right)^6$, also (wie oben) $x =\frac {3^{12}} {2^{19}} = \frac{531441} {524288}$.

Literatur

• Euklid: Katatome kanonos (lat. Sectio canonis). Engl. Übers. in: Andrew Barker (Hg.): Greek Musical Writings. Vol. 2: Harmonic and Acoustic Theory, Cambridge Mass.: Cambridge University Press, 2004, S. 190–208, hier: S. 199.
• Hermann Diels: Die Fragmente der Vorsokratiker, 1. Band, 2. Auflage. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin, 1906

Weblinks

das pythagoreische und syntonische Komma von Joachim Mohr